関数の極限値
今回は関数の極限値について解説していきます！
直感的に言うと、順番に並べた数がある値に近づく時、その値のことを関数/数列の極限あるいは極限値といい、この関数/数列は収束するといいます。
例）
\(\displaystyle\frac{1}{1}\), \(\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{1}{3}\), \(\cdots\), \(\displaystyle\frac{1]{100}\), \(\cdots\)
この場合、分母がどんどん大きくなっていくので \(0\) に近づいていることがわかります。
極限値
関数 \(f(x)\) において、\(x\) が \(a\) (\(x\neq a\)) に近づくとき、\(f(x)\) がある一定の値 \(\alpha\) (極限値) に限りなく近づく場合、この値 \(\alpha\) を、\(f(x)\) の極限値という。これを次のように表す。
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)=\alpha\)
または
\(x\longrightarrow a\) のとき \(f(x)\longrightarrow\alpha\)
不定形の極限
不定形の極限とは、全体がどのような極限地に向かうかが直接定められない以下のようなタイプの極限です。
・\(\infty-\infty\)
・\(0\times\infty\)
・\(\displaystyle\frac{0}{0}\)
・\(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
数列や関数の極限値は、「収束すること」が明らかになっていないと求められません。
例えば、次のような式の形では極限が定まりません。
※「定まりません。」というのは「極限値が存在しない。」という意味ではありません。”あるかどうか”すらわからない形です。
・\(\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\)
\(x\longrightarrow 2\) のとき、
\(\displaystyle\frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\longrightarrow\) \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
・\(\displaystyle\lim_{n \to\infty}(2n^3-3n^2)\)
\(n\longrightarrow\infty\) のとき、
\(2n^3-3n^2\longrightarrow\) \(\infty-\infty\)
・\(\displaystyle\lim_{n \to\infty}\frac{\sqrt{n^3+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}\)
\(n\longrightarrow\infty\) のとき、
\(\displaystyle\frac{\sqrt{n^3+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}\longrightarrow\) \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
関数の極限値（問題）
等式 \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=3\) を満たす定数 \(a\), \(b\) の値を求めよ。
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解説
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x-1)=0\) より
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^2+ax+b)=0\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x-1)=0\) より 分母の極限値は \(0\) となります
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}{x^2+ax+b}{0}\) (\(x^2+ax+b\neq 0\) のときこの値は収束しないので極限値は存在しません。
よって、与式が極限値を持つためには、
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^2+ax+b)=0\)
のように分子の極限値が \(0\) であるようにして不定形にする必要があります。
よって、
\(1+a+b=0\)
\(b=-a-1\) \(\cdots\) ①
与式に ① を代入すると、
\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^2+ax-a-1}{x-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to 1}(x+a+1)=a+2\)
\(a+2=3\) であるから、
\(a=1\), \(b=-2\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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