今回扱う問題は、指数が含まれた不等式です。
以下のような式を扱います。
\(25^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
式を変形し、別の文字（\(t\) など）に置き換えることによって解くことができます。
※ 解説は下部にあります。
指数不等式を解くために必要な公式
【\(0\) や負の整数の指数】
\(a\neq 0\) で、\(n\) が正の整数のとき
\(a^0=1\), \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n}\)
【指数法則】
\(a\neq 0\), \(b\neq 0\) で、\(m\), \(n\) が整数のとき、
① \(a^ma^n=a^{m+n}\)
①’ \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
② \((a^m)^n=a^{mn}\)
③ \((ab)^n=a^nb^n\)
③’ \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\)
【累乗根の性質】
\(a>0\), \(b>0\) で \(m\), \(n\), \(p\) が正の整数のとき
① \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
② \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
③ \((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[nb]{a^{mp}}\)
④ \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
⑤ \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)
指数不等式の問題
(1) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2x+2}<\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{x-1}\)
(2) \(2\cdot 4^x-17\cdot 2^x+8<0\)
(3) \(25^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
＞＞詳細はこちらから
解説
(1) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2x+2}<\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{x-1}\)
\(2^{-(2x+2)}<2^{-4(x-1)}\)
\(2^{-2x-2}<2^{-4x+4}\)
\(-2x-2<-4x+4\)
\(2x<6\)
\(x<3\)
(2) \(2\cdot 4^x-17\cdot 2^x+8<0\)
\(2\cdot 2^{2x}-17\cdot 2^x+8<0\)
\(2\cdot (2^x)^2-17\cdot 2^x+8<0\)
ここで、\(2^x=t\) とおくと、
\(2\cdot t^2-17t+8<0\)
\((2t-1)(t-8)<0\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}<t<8\)
(3) \(25^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
\((5^2)^x-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
\((5^x)^2-3\cdot 5^x-10\geq 0\)
ここで、\(5^x=t\) とおくと、
\(t^2-3t-10\geq 0\)
\((t-5)(t+2)\geq 0\)
\(t\leq -2\), \(5\leq t\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
『統計の扉』で書いている記事
- 高校数学の解説
- 公務員試験の数学
- 統計学（統計検定2級レベル）
ぜひご覧ください！
数学でお困りの方は、コメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。