【積分法の応用】回転体の体積

回転体の体積

切り口の面積の関数 $S(x)$ が与えられている時、

$x=a$ から $x=b$ までの体積を $V$ とする。また、ある $x$ 座標で切り取った立体の切り口の面積を $S(x)$ とすると、

$$V={\displaystyle {\int }_b^{a}S(x)dx}$$

※ イメージ：$S(x)$ を $x=a$ から $x=b$ まで足し合わせていくイメージ

切り口の面積の関数 $S(x)$ が与えられておらず、代わりに曲線 $f(x)$ が与えられている時、

切り口の面積の関数 $S(x)$ は与えられていないことの方が多く、その代わりに曲線 $f(x)$ が与えられている。

その場合、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸と $2$ 直線 $x=a$,　$x=b$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる回転体の体積 $V$ は、

$$V=\pi {\displaystyle {\int }_a^b\{f(x){\}}^{2}dx=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx}$$

$2$ つの曲線 $y=f(x)$,　$y=g(x)$ が与えられている時、

$2$ つの曲線 $y=f(x)$,　$y=g(x)$ と $2$ 直線 $x=a$,　$x=b$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる回転体の体積 $V$ は、

$$V=\pi {\displaystyle {\int }_a^b|\{f(x){\}}^2-\{g(x){\}}^2|dx}$$

回転体の体積（問題）

次の曲線や座標軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

(1)　$y=1-\sqrt{x}$,　$x$ 軸,　$y$ 軸
(2)　$y=1+\cos x$ ($-\pi \le x\le \pi$),　$x$ 軸

回転体の体積（解説）

(1)　$1-\sqrt{x}=0$ とすると、$\sqrt{x}=1$　よって　$x=1$

ゆえに、

$$\begin{array}{rcl}V& =& \pi {\int }_0^1(1-\sqrt{x}{)}^{2}dx\\ & =& \pi {\int }_0^1(1-2\sqrt{x}+x)dx\\ & =& \pi [x-{\displaystyle \frac{4}{3}x\sqrt{x}+\frac{1}{2}{x}^2{]}_0^1}\\ & =& \pi (1-{\displaystyle \frac{4}{3}+\frac{1}{2})}\\ & =& {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\end{array}$$

(2)　$1+\cos x=0$ とすると、$-\pi \le x\le \pi$ では $x=\pm \pi$

$$\begin{array}{rcl}V& =& \pi {\int }_{-\pi }^{\pi }(1+\cos x{)}^{2}dx\\ & =& 2\pi {\int }_0^{2\pi }(1+\cos x{)}^{2}dx\\ & =& 2\pi {\int }_0^{2\pi }(1+2\cos x+{\cos }^{2}x)dx\\ & =& 2\pi {\int }_0^{2\pi }(1+2\cos x+{\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2})dx}\\ & =& 2\pi {\int }_0^{2\pi }({\displaystyle \frac{3}{2}+2\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x)dx}\\ & =& 2\pi [{\displaystyle \frac{3}{2}x+2\sin x+\frac{1}{4}\sin 2x{]}_0^{\pi }}\\ & =& 2\pi \cdot {\displaystyle \frac{3}{2}\pi =3{\pi }^2}\end{array}$$

おわりに