【式と証明】『等式の証明』条件つきの等式の証明

条件のある等式の証明

今回は等式の証明でも比較的わかりやすい問題を紹介します。

基本的に条件式がある場合は、それをどのように使うかがわかれば大体の問題に対応でき、そしてその方法はある程度パターンがあります。

では、実際に問題を一緒に見ていきましょう。

条件のある等式の証明（問題）

\(a+b+c=0\) のとき、次の等式を証明しなさい。

　　 \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

条件のある等式の証明（答案の例）

解き方①

\(a+b+c=0\) より、 \(c=-a-b\)

よって、

　\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+(-a-b)^3-3ab(-a-b)\)
\(=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3+3a^2b+3ab^2\)
\(=0\)

ゆえに、\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

解き方②

等式を変形して、\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

この左辺を \(P\) とすると、

\(P=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\)

\(a+b+c=0\) より、\(P=0\)

ゆえに、\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

条件のある等式の証明（解説）

条件式の使い方は、だいたいある文字について解き、それを代入して等式を証明していく流れが一般的です。解き方②が少し思いつきにくいですが、いろいろな方向からのアプローチを知っておくことは、応用力をつけることに直結するため、紹介しておきますね。

まず解き方①では、\(c\) について解き、 \(c\) に代入するという解き方です。

解答例では、\(3abc\) を左辺に移行して、右辺を\(0\) にしてから、左辺の \(0\) を導く方法で証明していますが、\(a^3+b^3+c^3\)と\(3abc\)に各々 \(c\) を代入して両辺のイコール関係を証明しても良いです。

\(c\)を移項すると、\(c=-a-b\)になるため、これを純粋に代入し、

　\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+(-a-b)^3-3ab(-a-b)\)
\(=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3+3a^2b+3ab^2\)
\(=0\)

となります。ここまでは普通に解き方です。

次に、解き方②について紹介します。
\(a+b+c=0\) をそのまま使っていくやり方です。

この式の意味は、 \(a+b+c\) があれば、 \(0\) に置き換えても良いということですね。連立方程式の代入法と同じ考え方ですね。
ということで、まずは \(a+b+c\) を式の中に作り出すことから始めます。

\(3abc\) を移項して、左辺を\(a^3+b^3+c^3-3abc\)とするところまでは同じです。

ここで左辺を因数分解します。

　\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\)

これを思いつくのが非常に難解なので、一般的な解き方ではないと言えます。思いつく際のヒントとしては、因数分解を使うこと、 \(a+b+c\) は出てくるであろうことです。
あとは、\(a+b+c\) の部分に条件式を代入すれば、

　\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\)
\(=0 \times (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\)
\(=0\)

となり、証明完了です。
基本は解き方①がメイン、もしもうまくいかなければ、別の方向からのアプローチが必要となるわけですが、そのときに解き方②を知っておけば、ある程度難問にも立ち向かえるでしょう。

おわりに