平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと
微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること
平均変化率と微分係数
平均変化率
平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと
つまり、図において線分 \(AB\) の傾きを考えると、点 \(A\) から 点 \(B\) までの平均変化率になります。
\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
微分係数
微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること
上記の図において、点 \(A\) における接線の傾きを求めるためには、点 \(B\) を 点 \(A\) に近づけていくと良いです。
\(\displaystyle\lim_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
また、\(b-a=h\) とおいて以下のようにも表されます。
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
例題
\(f(x)=x^2-x\) について、次のものを求めよ。
(1) \(x=1\) から \(x=1+h\) \((h\neq 0)\) まで変化するときの平均変化率
(2) \(x=1\) における微分係数
(3) 曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \(A\) \((t\), \(f(t))\) における接戦の傾きが \(-1\) となるとき、\(t\) の値を求めよ。
解説
(1)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=0\)
\(x=1+h\) のとき、\(f(1+h)=h^2+h\)
よって、
\(\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}\)
\(=\displaystyle\frac{h^2+h-0}{h}\)
\(=h+1\)
(2)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{h^2+h-0}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}(h+1)=1\)
(3)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=-1\) となるような \(t\) を求める。
左辺は、\(f(x)\) を微分して、\(x=t\) を代入した式なので、
\(f'(x)=2x-1\)
となり、 \(x=t\) を代入すると、
\(f'(t)=2t-1\)
したがって、
\(2t-1=-1\)
\(t=0\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
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