接線の方程式/法線の方程式
接線の方程式
\(y=f(x)\) 上の点 \((a\), \(f(a))\) における接線の方程式は、
\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
法線の方程式
\(y=f(x)\) 上の点 \((a\), \(f(a))\) における法線の方程式は、
\(y-f(a)=-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}(x-a)\)
〈考え方〉
図のように、接線に垂直な直線が法線です。
\(2\) つの直線が垂直なとき、傾きをそれぞれ \(m\), \(n\) とおくと、
\(m\times n=-1\)
となる。
以上のことを踏まえると、
接線の傾きが \(f'(a)\) となるとき、法線の傾きは、\(-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}\) と書ける。
※ \(f'(a)\times\left(-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}\right)=-1\)
法線の方程式（問題）
曲線 \(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\) について、次のものを求めよ。
(1) 曲線上の点 \(\big(2\), \(-\displaystyle\frac{14}{9}\big)\) における法線の方程式
(2) (1) で求めた法線と曲線の共有点のうち、点 \(\big(2\), \(-\displaystyle\frac{14}{9}\big)\) 以外の点の座標
＞＞詳細はこちらから
解説
\(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\)
\(y’=\displaystyle\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{3}\) \(\cdots\) (A)
(1)
\(x=2\) における接線の傾きは、
\(x=2\) を (A) に代入すると、\(y’=1\)
法線の傾きを \(m\) とおくと、
\(m\times 1=-1\)
\(m=-1\)
よって、
\(y+\displaystyle\frac{14}{9}=(-1)\cdot (x-2)\)
\(y=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\)
(2)
\(y=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\) \(\cdots\) ①
\(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\) \(\cdots\) ②
\(\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\)
\(2x^3-15x=-9x+4\)
\(2x^3-6x-4=0\)
\(x^3-3x-2=0\)
\(f(x)=x^3-3x-2\) とおくと、\(f(-1)=0\) より
\((x+1)(x^2-x-2)=0\)
\((x+1)^2(x-2)=0\)
よって、求める点の \(x\) 座標は、\(x=-1\) であり、求める共有点の座標は、
\(\big(-1\), \(\displaystyle\frac{13}{9}\big)\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
質問や感想はコメントへ！