方程式・不等式への応用
今回は方程式や不等式に、微分法を応用する方法を解説します！
この単元では、増減表の描き方やグラフの描き方が前提の知識となります。
復習をしたい方はこちらをチェック！
不等式 \(f(x)>g(x)\) の証明
\(F(x)=f(x)-g(x)\) とおき、関数 \(F(x)\) の増減を調べて証明する。
① \(F(x)\) の最小値を求め、
[ \(F(x)\) の (最小値) \(>0\)] を示す。
最小値が \(0\) より大きいことは、その関数全体が \(0\) より大きいことを示したことになりますね！
② \(F(x)\) が単調に増加 [\(F'(x)>0\) ] して
\(F(a)\geq 0\) ならば, \(x>a\) のとき \(f(x)>g(x)\) であることを利用する。
例）
\(x>0\) のとき、不等式 \(x>\sin x\) が成り立つことの証明
\(F(x)=x-\sin x\) とおくと、
\(F'(x)=1-\cos x\)
\(x>0\) のとき \(0\leq \cos x\leq 1\) より
\(F'(x)\leq 0\)
ゆえに、\(F(x)\) は \(x\leq 0\) で単調に増加する。
\(F(x)\) が単調増加であることが示せれば、グラフは描く必要はありません！
このことと、\(F(0)=0\) から、
\(x>0\) のとき \(F(x)>0\) すなわち \(x>\sin x\)
方程式・不等式への応用（問題）
\(x>0\) のとき、不等式 \(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\) が成り立つことを証明せよ。
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方程式・不等式への応用（解説）
\(f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{2}-\log (1+x)\) とおくと、
\(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{1+x}\)
\(=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}\)
\(f'(x)=0\) とすると、
\(f'(x)=\displaystyle\frac{x-1}{2(1+x)}=0\)
\(x-1=0\)
\(x=1\)
\(x>0\) における増減表は以下のようになる。
\(1-\log 2>0\) であるから、\(x>0\) のとき
\(f(x)\geq f(1)>0\)
よって、\(x>0\) のとき
\(\log (1+x)<\displaystyle\frac{1+x}{2}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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