【微分法の応用】方程式・不等式への応用

方程式・不等式への応用

今回は方程式や不等式に、微分法を応用する方法を解説します！

この単元では、増減表の描き方やグラフの描き方が前提の知識となります。

復習をしたい方はこちらをチェック！

不等式 $f(x)>g(x)$ の証明

例）

$x>0$ のとき、不等式 $x>\sin x$ が成り立つことの証明

$F(x)=x-\sin x$ とおくと、

$F^{\prime }(x)=1-\cos x$

$x>0$ のとき $0\le \cos x\le 1$ より

$F^{\prime }(x)\le 0$

ゆえに、$F(x)$ は $x\le 0$ で単調に増加する。

このことと、$F(0)=0$ から、

$x>0$ のとき $F(x)>0$ すなわち $x>\sin x$

方程式・不等式への応用（問題）

$x>0$ のとき、不等式 $\log (1+x)<{\displaystyle \frac{1+x}{2}}$ が成り立つことを証明せよ。

方程式・不等式への応用（解説）

$f(x)={\displaystyle \frac{1+x}{2}-\log (1+x)}$ とおくと、

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{1+x}}$

　$={\displaystyle \frac{x-1}{2(1+x)}}$

$f^{\prime }(x)=0$ とすると、

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x-1}{2(1+x)}=0}$

　$x-1=0$

　$x=1$

$x>0$ における増減表は以下のようになる。

$1-\log 2>0$ であるから、$x>0$ のとき

　$f(x)\ge f(1)>0$

よって、$x>0$ のとき

　$\log (1+x)<{\displaystyle \frac{1+x}{2}}$

おわりに