条件付きの因数分解
今回は、条件付きの因数分解の問題を解説しようと思います。
問題文に「〜のとき」や「〜を利用して」などの条件があったら要注目です！条件があるということは、「それを使えば楽に解けるよ」というメッセージです。そのメッセージをいかにうまく受け止められるかがポイントになります！
条件付きの因数分解（問題）
(1) \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を利用して、\(a^3+b^3+c^3-3abc\) を因数分解しなさい。
(2) (1) の結果を利用して、次の式を因数分解しなさい。
(ア) \(x^3+y^3+3xy-1\)
(イ) \((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3\)
条件付きの因数分解（解説）
(1) \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を利用して、\(a^3+b^3+c^3-3abc\) を因数分解しなさい。
【\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) の捉え方】
\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\)
\(\Longrightarrow\) \(\spadesuit^3+\clubsuit^3=(\spadesuit+\clubsuit)^3-3\spadesuit\cdot\clubsuit(\spadesuit+\clubsuit)\)
\(a\) と \(b\) を使った式として見るのではなく\(a\) と \(b\) じゃなくても使えるように柔軟に捉えておく。
\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) より
\(a^3+b^3\)\(+c^3-3abc\)
\(=\)\((a+b)^3-3ab(a+b)\) \(+c^3-3abc\)
\(=\)\((a+b)^3+c^3\)\(-3ab(a+b)-3abc\)
\(a+b=A\) とおくと、
\(=\)\(A^3+c^3\)\(-3abA-3abc\)
\(=\)\((A+c)^3-3Ac(A+c)\)\(-3abA-3abc\)
\(=\)\((A+c)^3-3Ac(A+c)\)\(-3ab(A+c)\)
\(=\)\((A+c)\{(A+c)^2-3Ac-3ab\}\)
\(=\)\((A+c)(A^2+2Ac+c^2-3Ac-3ab)\)
\(A\) に \(a+b\) を戻す。
\(=\)\((a+b+c)\{(a+b)^2+2(a+b)c+c^2-3(a+b)c-3ab\}\)
\(=\)\((a+b+c)(a^2+b^2+2ab+2ac+2bc+c^2-3ac-3bc-3ab)\)
\(=\)\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
(2) (1) の結果を利用して、次の式を因数分解しなさい。
(1) の以下の結果を用いる。
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\)\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
(ア) \(x^3+y^3+3xy-1\)
上記の結果の \(a\) に \(x\) を \(b\) に \(y\) を \(c\) に \(-1\) を当てはめて考える
\(x^3+y^3-1+3xy\)
\(=x^3+y^3+(-1)^3-3xy\cdot (-1)\)
(1) より
\(=(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)\)
(イ) \((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3\)
\(x-y=A\), \(y-z=B\), \(z-x=C\) とおくと、
上記の結果の \(a\) に \(A\) を \(b\) に \(B\) を \(c\) に \(C\) を当てはめて考える
\(=A^3+B^3+C^3\)
\(=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-AC-BC)+3ABC\)
ここで、
\(A+B+C=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0\) より
\(=0+3ABC\)
\(=3(x-y)(y-z)(z-x)\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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