【数列】『シグマの計算』部分分数分解の利用

分母を分けて考えよう

今回は、シグマを使った問題の中で、分数が含まれているものを解説します。

特に、シグマの問題における分数は、分母がやたらと長いものが多いのです。たとえばこんな感じ。

　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\)

　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)

大抵、シグマの公式に当てはめて考えられないか、と最初に思いつきますが、今回はどの公式も使えません。
かと言って、\(1\) から順番に数字を代入していく？　やってみるとわかりますが、具体数から規則性を見つけるのはほぼ不可能です。

こういう時に役に立つ考え方が、タイトルにもある部分分数分解です。これは、分母が多すぎるので、 \(2\) つの分数、もしくは \(3\) つの分数などに分けて（部分的な分数に分けて）考えてみる、というものなのです。

実際に、上記の問題を使ってやり方を具体的に説明していきます。

部分分数分解を用いたシグマの計算（問題）

正の整数 \(n\) に対して、次の \(S_{n}\) を求めなさい。

（ \(1\) ） \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\)

（ \(2\) ）\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)

部分分数分解を用いたシグマの計算（答案の例）

（ \(1\) ）

\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\)
\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Big)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \Big(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Big)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\frac{1}{3}\Big)+\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Big)+\Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\Big)+\cdots+\Big(\frac{1}{2(n-1)-1}-\frac{1}{2(n-1)+1}\Big)+\Big(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Big)\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{1-\frac{1}{2n+1}\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\frac{2n+1}{2n+1}-\frac{1}{2n+1}\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{2n}{2n+1}\)
\(=\displaystyle \frac{n}{2n+1}\)

（ \(2\) ）

\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\Big)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Big(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\Big)\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{2 \cdot 3}\Big)+\Big(\frac{1}{2 \cdot 3}-\frac{1}{3 \cdot 4}\Big)+\Big(\frac{1}{3 \cdot 4}-\frac{1}{4 \cdot 5}\Big)+\)
　　　　　　\(\displaystyle \cdots+\Big(\frac{1}{(n-1) \cdot n}-\frac{1}{n \cdot (n+1)}\Big)+\Big(\frac{1}{n \cdot (n+1)}-\frac{1}{(n+1) \cdot (n+2)}\Big)\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\frac{(n+1)(n+2)}{2(n+1)(n+2)}-\frac{2}{2(n+1)(n+2)}\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\frac{n^2+3n+2}{2(n+1)(n+2)}-\frac{2}{2(n+1)(n+2)}\bigg\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{n^2+3n}{2(n+1)(n+2)}\)
\(=\displaystyle \frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}\)

部分分数分解を用いたシグマの計算（解説）

（ \(1\) ）

まずは、\(\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\) を \(\displaystyle \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Big)\) に分解したところから解説スタートです。

分母の \((2k-1)(2k+1)\) を \(2k-1\) と \(2k+1\) に分解して、分数を \(2\) つにしていますね。これが部分分数分解というものなのです。これを行う上で、覚えておいてほしい注意点が \(2\) つあります。

①　通分したときに元の式に戻るように、何かの数をかけて調整する
②　分解した分数同士はひき算の形にする

①については、
　\(\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2} \Big(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\Big)\)
という変形の \(\displaystyle \frac{1}{2}\) という部分を見ていただけるとわかるかと思います。

「これはどこから出てきたの？」

仮に、\(\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\) を \(\displaystyle \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\) と分解してみたとしましょう。
イコールでつながれているのですから、全く同じ値になっていなければいけません。変形後の分数同士の引き算を通分してみると、
　\(\displaystyle \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\)
\(=\displaystyle \frac{2k+1}{(2k-1)(2k+1)}-\frac{2k-1}{(2k-1)(2k+1)}\)
\(=\displaystyle \frac{2k+1-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}\)
\(=\displaystyle \frac{2k+1-2k+1}{(2k-1)(2k+1)}\)
\(=\displaystyle \frac{2}{(2k-1)(2k+1)}\)
という結果になります。

見た目が元の式の \(\displaystyle \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\) と違い、分子に \(2\) がついてしまっています。というわけで、元の式と同じにするために、 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) をかけて調整したのです。

次に②ですが、分解しようとしたとき、

「別に足し算の形で分解してもいいんじゃないの？」

と思う人、いるのではないでしょうか？　引き算よりも足し算のほうが扱いやすいですからね、当然の発想だと思います。引き算にする理由は、互いに打ち消しあえるものが出てくるからなのです。

解答例の途中式を見てみると、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\frac{1}{3}\Big)+\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Big)+\Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\Big)+\cdots\)
という部分がそうです。引き算の式がシグマによって足されていますね。
そうすると、たとえば
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\cancel{\frac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{3}}-\frac{1}{5}\Big)+\Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\Big)+\cdots\)
などのように、 \(\displaystyle -\frac{1}{3}\) と \(\displaystyle +\frac{1}{3}\) が消去されますね。

同じようにこれらを繰り返していくと、どんどん数が消去されていき、最終的にはほんの少ししか項が残らないということになります。これが②の意図なのです。

あと残るであろう代表的な疑問はおそらく、

「消去された結果が何で\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{1-\frac{1}{2n+1}\bigg\}\)なの？」

というところでしょうか。
\(n\) 番目まで足してしまうとイメージしにくいので、具体的に \(2\) 番目まで足した場合から考えてみましょう。
\(2\) 番目まで足すと、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\frac{1}{3}\Big)+\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Big)\bigg\}\)
となり、先ほどのように \(\displaystyle \frac{1}{3}\) の部分を消去しようとすると、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\cancel{\frac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{3}}-\frac{1}{5}\Big)\bigg\}\)
となります。

次に、\(3\) 番目まで足してみると、 \(\displaystyle \frac{1}{5}\) も消去されるので、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\cancel{\frac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{5}}-\frac{1}{7}\Big)\bigg\}\)
となります。

\(4\) 番目までだと、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\cancel{\frac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{5}}-\cancel{\frac{1}{7}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{7}}-\frac{1}{9}\Big)\bigg\}\)
となります。

規則が見えてきますでしょうか？
そうなのです、一番最初と一番最後だけが残るのです。これを \(n\) 番目まで足していくと、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\cancel{\frac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{5}}-\cancel{\frac{1}{7}}\Big)+\cdots+\Big(\cancel{\frac{1}{2n-3}}-\cancel{\frac{1}{2n-1}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2n+1}\Big)\bigg\}\)
となり、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{1-\frac{1}{2n+1}\bigg\}\)
しか残らないというわけですね。

すべての問題が最初と最後だけ残るというわけではないので、そこだけ注意ですよ。問題によって残る項の規則が違ってきますので、具体数から規則性を見つけてみましょう。

あとはかっこの中を通分で整理して、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) をかければ答えにたどり着きます。

「うまく解けるように式を変形する」
頻繁に数学で出てくる考え方ですね。

（ \(2\) ）

まずはやはり、\(\displaystyle \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\Big)\)の部分でしょう。

「なんで \(k+1\) が \(2\) つあるの？」

なぜ部分分数分解をするのか。それは、シグマで足していったときにうまく項が消去されて、答えまでたどり着くからです。
ここで大事な考え方として、（ \(1\) ）での
\(\displaystyle \frac{1}{2}\bigg\{\Big(1-\cancel{\frac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\frac{1}{3}}-\frac{1}{5}\Big)\bigg\}\)
を見るとわかる通り、消去されるのは \(n\) 番目のかたまりの後ろと \(n+1\) 番目のかたまりの前の項になっていると思います。
　※上記の例で言うと、 \(1\) 番目のかたまりの後ろ（\(1-\frac{1}{3}\)の\(\frac{1}{3}\)）と \(2\) 番目のかたまりの前（\(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\)の\(\frac{1}{3}\)）が消去されていますね。

今回の問題も、項が消去されるように \(2\) つの分数に分けようとすると、
\(\displaystyle \frac{1}{2} \Big(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\Big)\)
となるのです。言ってしまえば、こうすることでうまく項が消去されるので、都合がいいわけです。数学って、なんかずるいですよね。

「都合がいいように変形するなら、もはやどう変形してもいいのでは？」

こう感じる方もいると思いますが、ただ都合がいいように変形しているのではありません。ちゃんと元の式に戻るように変形を行っているのです。このルールを守らないと、式がおかしくなります。
数学は、正解を見つける教科ではなく、間違ったことをしないように考えていく教科なのです。都合がいいように変形しているが、間違った式変形ではない、という印象です。

さて、（ \(2\) ）の部分分数分解について、少し長くなりましたので、下記に一般的な書き方でまとめておきます。

分母の値の因数が \(3\) つの場合（それぞれ \(a,b,c\) とする）、
　\(\displaystyle \frac{1}{abc} \Longrightarrow \Big(\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}\Big)\)
と変形すると、うまく場合が多い。

部分分数分解ができてしまえば、あとは（ \(1\) ）と同じ要領でどんどん項を消去していきましょう。

上記の答案の例に書かれている長い途中式を見るとわかる通り、符号が違うだけの項がたくさん出てきてますね。これらがすべて消え、今回も一番最初と一番最後が相変わらず残ってきます。
　※ちなみに（ \(1\) ）でも述べたように、一番最初と一番最後が必ず残るとは限りませんので、毎回具体的に少し書き出してみて、残る項の位置を確認してみましょう。

最後に通分、\(\displaystyle \frac{1}{2}\) をかけるという作業で終了です。

高校数学での部分分数分解は、因数が \(2\) ～ \(3\) 個の式が分母に来るものが一般的です。今回の問題に慣れておけば、一般的なレベルの問題は同じように分解できると思います。（最後に残る項の位置は確認が必要ですよ。）

おわりに