【数列】『数列の和』 \(2\) 種類の数列の組み合わせ問題①

規則的に並んでいる列を \(2\) つ見つけよう

今回は、数列が \(2\) 種類組み合わさっている場合の和の求め方についてです。

等差数列や等比数列、シグマの計算など、和の求め方の基本を使い、組み合わせの和の問題に対処していきます。では、具体的な問題で実際に見ていきましょう。

\(2\) 種類の数列の組み合わせによる和①（問題）

次の数列の初項から第 \(n\) 項までの和を求めなさい。

　　\(1 \cdot 3 ,　3 \cdot 5 ,　5\cdot7 ,　7\cdot 9 ,　\cdots\)

\(2\) 種類の数列の組み合わせによる和①（答案の例）

与えられた数列の第 \(n\) 項を \(a_{n}\) とすると、

　\(a_{n}=(2n-1)(2n+1)\)
　　　\(=4n^2-1\)

よって、初項から第 \(n\) 項までの和は、

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}\)
　\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k^2-1)\)
　\(=4 \times \displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-n\)
　\(=\displaystyle \frac{1}{3}n\big\{(4n^2+6n+2)-3\big\}\)
　\(=\displaystyle \frac{1}{3}n(4n^2+6n-1)\)

\(2\) 種類の数列の組み合わせによる和①（解説）

こういった問題は、各項の前半と後半で規則性を見つけて一般項をそれぞれ求めるのが一般的です。

今回、各項の前半は
　 \(1,　3,　5,　7,　\cdots\)
となっているため、等差数列の一般項を求める公式により、
　　\(1+(n-1) \times 2\)
　\(=2n-1 \cdots ❶\)

後半は、
　 \(3,　5,　7,　9,　\cdots\)
となっているため、同じく等差数列の一般項を求める公式により、
　　\(3+(n-1) \times 2\)
　\(=2n+1 \cdots ❷\)

❶と❷の積が第 \(n\) 項なので、

　\((2n-1)(2n+1)\)
　\(=4n^2-1\)

よって、初項から第 \(n\) 項までの和は、
　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k^2-1)\)
　\(\displaystyle =4 \times \sum_{k=1}^{n} k^2-\sum_{k=1}^{n} 1\)

前半は、\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) の公式を使って変形します。

後半の「\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1\)」については、まずシグマの意味を少し考えてみます。

「\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\)」\( \Longrightarrow\) 「 \(k\) に\(1\) から \(n\) までを代入して、それら \(n\) 個の項をすべて足し合わせる」

今回、
　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1\)
という式には、 \(k\) が含まれておらず、 \(1\) があるだけです。\(k\) があれば代入する作業が入りますが、それがないということは、先ほどの
　「 \(k\) に\(1\) から \(n\) までを代入して、」
という過程が丸ごとないのです。残されているのは、
　「それら \(n\) 個の項をすべて足し合わせる」
という部分。代入は行っていませんが、 \(n\) 個あることに変わりはありません。何が \(n\) 個あるかというと、 \(1\) が \(n\) 個あるのです。
つまり、
　 \(1 \times n\)
\(=n\)

これにより、
　\(\displaystyle 4 \times \sum_{k=1}^{n} k^2-\sum_{k=1}^{n} 1\)
\(=4 \times \displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-n\)
\(=\displaystyle \frac{1}{3}n\big\{(4n^2+6n+2)-3\big\}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{3}n(4n^2+6n-1)\)

おわりに