関数の極限
関数の極限
\(1\) つの有限な値に収束 \(\cdots\) 極限値がある 極限がある
\(\infty\) に発散 \(\cdots\) 極限値はない 極限がある
\(-\infty\) に発散 \(\cdots\) 極限値はない 極限がある
極限はない \(\cdots\) 極限がない
極限とは、「限りなく◯◯に近づく」という意味で、極限値とは、「近づいた結果得られる解」を指します！
関数の極限の性質
\(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\beta\) (\(\alpha\), \(\beta\) が有限な値) のとき
① \(\displaystyle\lim_{x\to a} \{kf(x)+lg(x)\} =k\alpha+l\beta\) ただし \(k\), \(l\) は定数
② 積 \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\alpha\beta\)
③ 商 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\) ただし \(\beta\neq 0\)
極限が掛け算もしくは割り算されていれば、極限値も掛け算もしくは割り算されているので直感的にわかりやすいですね！
関数の片側からの極限
右側極限 \(\displaystyle\lim_{x\to a+0} f(x)\) \(x>a\) で、\(x\longrightarrow\alpha\) のときの \(f(x)\) の極限
左側極限 \(\displaystyle\lim_{x\to a-0} f(x)\) \(x<a\) で、\(x\longrightarrow\alpha\) のときの \(f(x)\) の極限
\(\displaystyle\lim_{x\to a+0} f(x)=\lim_{x\to a-0} f(x)=\alpha \longleftrightarrow\lim_{x\to a}=\alpha\)
指数関数、対数関数の極限
① 指数関数 \(y=a^x\) について
\(a>1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x=0\)
\(0<a<1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x=\infty\)
② 対数関数 \(y=\log_a x\) について
\(a>1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \log_a x=\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to +0} \log_a x=-\infty\)
\(0<a<1\) のとき \(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \log_a x=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to +0} \log_a x=\infty\)
関数の極限値の大小関係
① \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\beta\) とする。
(A) \(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha\leq\beta\)
(B) \(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) かつ \(\alpha=\beta\) のとき
\(\displaystyle\lim_{x\to a} h(x)=\alpha\) (はさみうちの原理)
② 十分大きい \(x\) で常に \(f(x)\leq g(x)\) かつ \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty\) ならば
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\)
関数の極限の問題
(1) \(\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)\)
(3) \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\)
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（解説）
(1) \(\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+1)}{(x-1)(x-2)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x+1)^2}{x-1}=9\)
(2) \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)=\lim_{x\to 0}\big\{\frac{1}{x}\cdot\frac{3-(x+3)}{x+3}\big\}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\big(\frac{1}{x}\cdot\frac{-x}{x+3}\big)\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\big(-\frac{1}{x+3}\big)=-\frac{1}{3}\)
(3) \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\)
\(=\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\frac{1}{6}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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