放物線と2直線で囲まれた面積
放物線と \(2\) つの接線で囲まれた面積を求める問題を扱います。
この問題では、定積分の計算ができることはもちろんですが、その前にまずはグラフを描くスキルが必要になります。
丁寧にグラフを描くことができればあとは計算だけです！
放物線と2直線で囲まれた面積（問題）
放物線 \(C\)：\(y=x^2-4x+3\) 上の点 \(P\)(0, 3), \(Q\)(6, 15) における接線を、それぞれ \(l\), \(m\) とする。この２つの接線と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
＞＞詳細はこちらから
解説
\(y’=2x-4\)
① \(x=0\) のとき \(y’=-4\)
点 \(P(0\), \(3)\) を通るので、 \(y-3=-4(x-0)\)
\(l\)：\(y=-4x+3\) \(\cdots\) ①
② \(x=6\) のとき \(y’=8\) より
点 \(Q(6\), \(15)\) を通るので、\(y-15=8(x-6)\)
\(m\)：\(y=8x-33\) \(\cdots\) ②
放物線\(C\), 直線 \(l\), \(m\) より
\(S=\displaystyle\int^3_0\{(x^2-4x+3)-(-4x+3)\}dx+\int_3^6\{(x^2-4x+3)-(8x-33)\}dx\)
\(=\displaystyle\int_0^3x^2dx+\int_3^6(x^2-12x+36)dx\)
\(=\displaystyle\int_0^3x^2dx+\int_3^6(x-6)^2dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right]_0^3+\left[\displaystyle\frac{1}{3}(x-6)^3\right]_3^6\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}(3^3-0^3)+\left\{\displaystyle\frac{1}{3}(6-6)^3-\frac{1}{3}(3-6)^3\right\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 27+\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 0^3-\frac{1}{3}(-3)^3\)
\(=9+9=18\)
\(\displaystyle\int (x-a)^2dx=\displaystyle\frac{1}{3}(x-a)^3+C\) （\(C\) は積分定数
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている学生の方
- 公務員試験の数学で困っている学生/社会人の方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている学生/社会人の方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
時間や料金などは相談して決められればと思っておりますが、塾に通うよりは高コスパかなと思います。また、基本的にはオンラインでの授業を想定していますが、場所によっては直接の指導が可能です。（プロフィール）
これまでは塾講師や高校で働いていたのですが、現在はデータサイエンティストとして活動しています。社会やビジネスで数学がどのように使われているのか、そういった話も交えながら進められればと思っております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
質問や感想はコメントへ！