三角関数と指数関数の不定積分
今回は三角関数と指数関数の不定積分についてです！
不定積分は数学Ⅱでも学びましたが、数学Ⅲではより難しい関数の不定積分を学びます。積分は微分との複合問題として出題される頻出問題なので一緒に確認していきましょう！
以下 \(C\) はいずれも積分定数とする。
\(\alpha\neq -1\) のとき \(\displaystyle\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\)
\(\alpha=-1\) のとき \(\displaystyle\int\frac{1}{x} dx=\log|x|+C\)
\(\displaystyle\int\sin x dx=-\cos x +C\)
\(\displaystyle\int\cos x dx=\sin x +C\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{\cos^2 x} dx=-\tan x +C\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sin^2 x} dx=-\frac{1}{\tan x} +C\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+C\)
\(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) (\(a>0\), \(a\neq 1\))
三角関数の不定積分（例題）
(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)
(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)
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三角関数の不定積分（解説）
(1) \(\displaystyle\int\frac{x-\cos^2 x}{x\cos^2 x} dx\)
\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{x}\big) dx\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{x}=\log|x|+C\) より
\(=\tan x-\log |x|+C\) (\(C\) は積分定数)
(2) \(\displaystyle\int\frac{1}{\tan^2 x} dx\)
\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) より
\(=\displaystyle\int\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx\)
\(=\displaystyle\int\big(\frac{1}{\sin^2 x}-1\big)dx\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-x+C\) (\(C\) は積分定数)
指数関数の不定積分（例題）
(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)
(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)
指数関数の不定積分（解説）
(1) \(\displaystyle\int (2e^t-3\cdot 2^t) dt\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より
\(=\displaystyle\int\big(2e^t-\frac{3\cdot 2^t}{\log 2}+C\) (\(C\) は積分定数)
(2) \(\displaystyle\int (3e^t-10^t) dt\)
\(\displaystyle\int e^x dx=e^x\), \(\displaystyle\int a^x dx=\frac{a^x}{\log a}+C\) より
\(=3e^t-\displaystyle\frac{10^t}{\log 10}+C\) (\(C\) は積分定数)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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