等式を満たす点の位置
今回は空間ベクトルの問題です！
空間図形になると難しく感じるかもしれませんが、考え方は平面と同様ですし、適宜空間図形を切り取れば平面図形として見ることができます。例題と解説を用意してるので解いてみてください。
等式を満たす点の位置（問題）
四面体 \(ABCD\) に関し、次の等式を満たす点 \(P\) はどのような位置にある点か。
\(\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}+6\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{0}\)
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解説
\(\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}+6\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{AP}+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+2(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})\)
\(+6(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AC}\)
\(+6\overrightarrow{AP}-6\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)
\(12\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-6\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)
\(12\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}(3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+6\overrightarrow{AD})\)
この形を目指す
\(\triangle{ABC}\) において、線分 \(BC\) を \(m:n\) に内分する点を \(P\) とするとき、
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}\left\{5\cdot \left(\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}\right)+6\overrightarrow{AD}\right\}\)
\(\overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}\) とおくと、
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}\left\{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}\right\}\)
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{1}{12}\left\{11\cdot \left(\frac{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}}{11}\right)\right\}\)
\(\overrightarrow{AF}=\displaystyle\frac{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}}{11}\) とおくと、
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{11}{12}\overrightarrow{AF}\)
図を描く手順
手順①
\(\overrightarrow{AE}=\displaystyle\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}\)
三角形 \(ABC\) に着目して平面図形として見る。
手順②
\(\overrightarrow{AF}=\displaystyle\frac{5\overrightarrow{AE}+6\overrightarrow{AD}}{11}\)
次に三角形 \(AED\) に着目する。
手順③
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{11}{12}\overrightarrow{AF}\)
手順①, ② より導いた点 \(F\)より、以下のように描かれる。
以上より、点 \(P\) は線分 \(BC\) を \(2:3\) に内分する点を点 \(E\) とし、線分 \(ED\) を \(5:6\) に内分する点を点 \(F\) とするとき、線分 \(AF\) を \(11:1\) に内分する点である。
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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- 公務員試験の数学で困っている学生/社会人の方
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