包括関係の証明
今回は包括関係についての問題を扱います！
\(2\) つの集合の関係を知るために、部分集合や集合の相等について知っておきましょう。
部分集合
\(A\) は \(B\) の部分集合である
\(\Longleftrightarrow\) \(A \subset B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(x\in A\) ならば \(x\in B\)
集合の相等
\(A\) と \(B\) は等しい
\(\Longleftrightarrow\) \(A=B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\subset B\) かつ \(B\subset A\)
※全く同じ集合ということ
包括関係の問題
\(Z\) を整数全体の集合とするとき、次の集合 \(A\), \(B\) において、\(A\subset B\) かつ \(A\neq B\) であることを証明しなさい。
(1) \(A=\{4n-1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
(2) \(A=\{4n+1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
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解説
① \(A\subset B\)
② \(B\not\subset A\)
※②に関しては、\(B\subset A\) にならない例を \(1\) つ見つければ良い。
(1) \(A=\{4n-1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
任意の \(a\in A\) に対して、
\(a=4n-1\) とかける。
\(a=4n-1=2\cdot 2n-1\)
\(2n\in Z\) より
\(a\in B\) となるので、\(A\subset B\)
また、\(5\in B\) だが \(5\notin A\) となるので、\(B\not\subset A\)
よって、\(A\subset B\) であるが、\(A\neq B\) である。
(2) \(A=\{4n+1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
任意の \(a\in A\) に対して、
\(a=4n+1\) とかける。
\(a=4n+1=2(2n+1)-1\)
\(2n+1\in Z\) より
\(a\in B\) となるので、\(A\subset B\)
また、\(7\in B\) だが \(7\notin A\) となるので、 \(B\not\subset A\)
よって、\(A\subset B\) であるが、\(A\neq B\) である。
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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