統計検定2級過去問題2021年6月問15の解説

 この記事を書いたのはこんな人

• 国立大学大学院数学科修了
• 元教員
• 統計検定準1級
• 数学検定準1級
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 この記事を書いたのはこんな人

yu-to

☑️ 国立大学大学院数学科修了
☑️ 元教員
☑️ 数学検定準1級
☑️ 統計検定準1級
☑️ kaggler

プロフィール

今回は統計検定2級の頻出である区間推定についての問題です。

統計検定2級を目指している方は瞬殺してほしいところ！

以下の公式を頭に叩き込んでおきましょう。公式を見て「？」となって人は以下で解説している実際の過去問を見ながら確認してみてください！

問題

母分散が \(\sigma^2 = 12^2\) である正規母集団の母平均 \(\mu\) を区間推定する。

(1)　この母集団から大きさ \(100\) の無作為標本を抽出したところ、標本平均が \(5.25\) となった。このときの母平均 \(\mu\) の \(95\)%信頼区間として、次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

① \([1.90, 8.61]\)
② \([2.15, 8.35]\)
③ \([2.43, 8.07]\)
④ \([2.90, 7.60]\)
⑤ \([3.28, 7.22]\)

(2)　母平均 \(\mu\) の \(95\)%信頼区間の幅を \(4\) 以下にしたい場合、最低限必要な標本の大きさはいくらか。次の①〜⑤のうちから最も適切なものを一つ選べ。

① \(89\)
② \(109\)
③ \(139\)
④ \(159\)
⑤ \(199\)

解説

(1) の解答

求めたいのは、

$$P(a\leq \mu \leq b)=0.95$$

となる区間\([a,\ b]\)です。ここで、\(\mu\) は母平均。このままだと計算しようがないので、標準化したものを考えます。

$$P(z_{-0.975} \leq z \leq z_{0.975})$$

標準化すると、確率変数 \(z\) は標準正規分布に従うので、95%信頼区間の値が決まります。実際に標準正規分布表を参照すると、\(z_{-0.975}=-1.96\),　\(z_{0.975}=1.96\) と決まります。

さらにここで、\(z=\displaystyle\frac{\bar\mu – \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)を代入すると、

※母分散が未知の場合は、不偏分散を使うので注意が必要です。

よって、

$$[\bar{\mu}-1.96\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{\mu}+1.96\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}] \ \cdots (※)$$

より、問題で与えられた数字を当てはめると、

$$[5.25 – 1.96 \cdot \frac{12}{10},\ 5.25 – 1.96 \cdot \frac{12}{10}]$$

$$[5.25 – 2.352,\ 5.25+2.352]$$

$$[2.898, 7.602] \approx [2.90, 7.60]$$

よって、④

(2) の解答

(※) より、信頼区間の幅は信頼区間の大きい方と小さい方の差で表されるので、

$$2 \cdot 1.96\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

これを \(4\) 以下にしたいので、

標本サイズは整数なので切り上げて、\(n = 139\)

よって、③

おわりに