集合の相等の証明
今回は集合の相等の証明問題です！
\(2\) つの集合が等しいとは以下のことを言います。
集合 \(A\) と 集合 \(B\) は等しい
\(\Longleftrightarrow\) \(A=B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\subset B\) かつ \(B\subset A\)
※全く同じ要素を持つ集合ということ
集合の相等（問題）
\(Z\) を整数全体の集合とするとき、次の集合 \(A\), \(B\) は等しいことを証明しなさい。
\(A=\{4x+3y\) | \(x\in Z\), \(y\in Z\}\), \(B=\{5x+2y\) | \(x\in Z\), \(y\in Z\}\)
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集合の相等（解説）
\(A\subset B\) かつ \(B\subset A\) であることを示す。
集合 \(A\), \(B\) が \(A\subset B\) （集合 \(B\) が集合 \(A\) の部分集合）であることを示すには、
集合 \(B\)（小さい方の集合）の要素をランダムで取ってきたときに、その要素が集合 \(A\) （大きい方の集合）にも属していることを示せば良い。
図のように、集合 \(B\) の要素はすべて集合 \(A\) に属している。
i ) \(A\subset B\)
任意の \(a\in A\) において \(a=4x+3y\) とかける。
\(a=4x+3y=5y+2(2x-y)\)
\(5\times\)(整数)\(+2\times\)(整数) になるように式変形をする。
\(y\in Z\), \(2x-y\in Z\) より
\(a\in B\) となり、\(A\subset B\)
ii ) \(B\subset A\)
任意の \(b\in B\) において \(b=5x+2y\) とかける。
\(b=5x+2y=4(2x-y)+3(-x+2y)\)
\(4\times\)(整数)\(+3\times\)(整数) になるように式変形をする。
\(2x-y\in Z\), \(-x+2y\in Z\) より
\(b\in A\) となり、\(B\subset A\)
i ) ii )より、\(A=B\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
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