集合の相等の証明
今回は集合の相等の証明問題です！
\(2\) つの集合が等しいとは以下のことを言います。
集合 \(A\) と 集合 \(B\) は等しい
\(\Longleftrightarrow\) \(A=B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\subset B\) かつ \(B\subset A\)
※全く同じ要素を持つ集合ということ
集合の相等（問題）
\(Z\) を整数全体の集合とするとき、次の集合 \(A\), \(B\) は等しいことを証明しなさい。
\(A=\{4x+3y\) | \(x\in Z\), \(y\in Z\}\), \(B=\{5x+2y\) | \(x\in Z\), \(y\in Z\}\)
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集合の相等（解説）
\(A\subset B\) かつ \(B\subset A\) であることを示す。
集合 \(A\), \(B\) が \(A\subset B\) （集合 \(B\) が集合 \(A\) の部分集合）であることを示すには、
集合 \(B\)（小さい方の集合）の要素をランダムで取ってきたときに、その要素が集合 \(A\) （大きい方の集合）にも属していることを示せば良い。
図のように、集合 \(B\) の要素はすべて集合 \(A\) に属している。
i ) \(A\subset B\)
任意の \(a\in A\) において \(a=4x+3y\) とかける。
\(a=4x+3y=5y+2(2x-y)\)
\(5\times\)(整数)\(+2\times\)(整数) になるように式変形をする。
\(y\in Z\), \(2x-y\in Z\) より
\(a\in B\) となり、\(A\subset B\)
ii ) \(B\subset A\)
任意の \(b\in B\) において \(b=5x+2y\) とかける。
\(b=5x+2y=4(2x-y)+3(-x+2y)\)
\(4\times\)(整数)\(+3\times\)(整数) になるように式変形をする。
\(2x-y\in Z\), \(-x+2y\in Z\) より
\(b\in A\) となり、\(B\subset A\)
i ) ii )より、\(A=B\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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