今回は、命題の基本知識をまとめます！
命題の問題は、バリエーションが豊富で対策しにくく演習を重ねるしかありません。
ただ演習を重ねるだけではなく、命題の基本的な知識を踏まえた上で演習を重ねると理解しやすいでしょう。
今回の基本知識を必ず押さえた上で、問題演習をしましょう。
命題とは？（数学Ⅰ）
命題とは、正しいか正しくないかが、はっきりしている式や文章のことです。
例）
① 富士山は大きい
富士山が大きいかどうかは、人によって感覚が違うので、
「正しいか正しくないかがはっきりしていない。」
よって、命題ではない。
② りんごは果物である
誰がどう見てもりんごは果物なので、
「正しいか正しくないかがはっきりしている。」
よって、命題である。
命題の基本構造
例）
ドラえもんは人間であるならばドラえもんには心臓がある。
仮定：ドラえもんは人間である
結論：ドラえもんには心臓がある
言い換えると、ドラえもんは人間である。と仮定すると、ドラえもんには心臓がある。
（ちなみに、こちらの命題は、真の命題である。）
真の命題と偽の命題
真の命題
（仮定）が満たされるとき、（結論）も満たされるときに、その命題は、「真である。」という。
例）「りんごであるならば、果物である。」
りんごであれば、必ず果物である。と言えるので、真の命題である。と言える。
偽の命題
（仮定）が満たされるときに、（結論）が満たされないときに、
その命題は、「偽である。」という。
例）「果物であるならば、りんごである。」
果物であるとき、必ずしもりんごである。と言えないので、偽の命題である。と言える。
※ ある命題が偽の場合、「偽である。」と言える例が存在する。
その例のことを「反例」と言う。果物であるならば、りんごである。こちらの命題の場合、ぶどう、なし、バナナなどが反例になる。
逆・裏・対偶
逆・裏・対偶は、元の命題の形を変更させたものである。
例）
元の命題：りんごであるならば、果物である。
逆 ：果物であるならば、りんごである。
裏 ：りんごでないならば、果物ではない。
対偶 ：果物でないならば、りんごではない。
元の命題 → 逆への変形
（ならば）の両側を交換する。
元の命題 → 裏への変形
（ならば）の両側を否定する。
例）「である。」 → 「ではない。」
元の命題 → 対偶への変形
元の命題を逆（裏）にした後に、裏（逆）にする。
対偶を使用すると良い例
例）「ドラえもんには心臓がないのならばドラえもんは人間ではない。」
「心臓がない」、「人間ではない」という部分の指してる範囲は広い。
※ 心臓がないものも人間ではないものは大量にありますよね。
こういった場合は、対偶に変形するとわかりやすくなる場合があります。
＜対偶に変形＞
「ドラえもんは人間である。ならば、ドラえもんには心臓がある。」
人間には、心臓があるのでこの命題は真となる。
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十分条件と必要条件
「\(P\) は \(Q\)であるための ◯ ◯ 条件である。」
◯ ◯ に当てはまるものを考えてみよう。
十分条件
\(P\) ならば \(Q\) である。→ 真
\(Q\) ならば \(P\) である。→ 偽
この時、
「\(P\) は \(Q\) であるための十分条件である。」
という。
必要条件
\(P\) ならば \(Q\) である。→ 偽
\(Q\) ならば \(P\) である。→ 真
この時、
「\(P\) は \(Q\) であるための必要条件である。」
という。
少し複雑だが、十分条件と必要条件を利用した問題は、
最初のうちは、パターンで覚えてしまった方が良いです。
おわりに
今回は、命題の基本知識をわかりやすくまとめてみました。
これを踏まえた上で、命題の問題に取り組むと良いでしょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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