因数定理とは、\(1\) 次式 \(x-a\) が整式 \(P(x)\) の因数である。つまり、\(P(a)=0\)
因数定理
因数定理とは、\(1\) 次式 \(x-a\) が整式 \(P(x)\) の因数である。つまり、\(P(a)=0\)
公式を覚えてしまえば簡単な問題なら解けるかもしれませんが、すこし問題の形が変えられてしまうと、太刀打ちできなくなってしまいます。そうならないように公式の意味をしっかりと理解しましょう！
ここから、公式の解説をしていきますので、見てみてください。
因数定理の解説
早速ですが、公式を別の言葉で言い換えていきましょう。
\(1\) 次式 \(x-a\) が整式 \(P(x)\) の因数である。
\(\Longleftrightarrow\) 因数分解したときに、\((x-a)\) \((x-b)(x-c)\cdots\) と因数分解の中に \((x-a)\) を含む。
\(\Longleftrightarrow\) \(x-a=0\) より \(x=a\)
\(\Longleftrightarrow\) \(x=a\) は \(P(x)=0\) の解である
\(\Longleftrightarrow\) \(P(a)=0\)
この流れを理解しておくと、難しい問題になっても対応できると思います。
因数定理（問題）
\(P(x)=x^3+ax+6\) が \(x+3\) で割り切れるとき、定数 \(a\) の値を定めよ。
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答案の例
\(P(-3)=-27-3a+6=0\)
よって、
\(-3a=21\)
\(a=-7\)
解説
\(P(x)\) は \(x+3\) で割り切れる。
\(\Longleftrightarrow\) \(P(x)=(x+3)Q=0\)
\(Q\) は \(P(x)\) を \(x+3\) で割った時の商となる。
\(\Longleftrightarrow\) \(x+3=0\) より \(x=-3\)
\(\Longleftrightarrow\) \(P(-3)=0\)
よって、
\(P(-3)=-27-3a+6=0\)
\(-3a=21\)
\(a=-7\)
おわりに
今回は、因数定理という公式を扱った問題でした。
問題自体は、因数定理の公式を理解していなくても、単純明快です。しかし、大学受験に出題される問題でこんなに簡単な問題は出題されません。しっかりと公式を理解しておきましょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
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私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
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