定積分が含まれた関数
今回は定積分が含まれた関数の問題です！
こういう問題を解いていきます！
（例題）
\(f(x)=6x^2-x+\) \(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)
式の赤い部分に着目してみましょう。
\(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)
\(f(t)\) には \(2t+1\) のような \(t\) の関数が入っていると考えます。
その関数を積分範囲 \(-1\) から \(1\) で定積分することを考えると、計算結果は定数になることがわかります。
よって、この部分を定数 \(A\) とおいてしまいましょう。
「\(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt=A\) とおく。」
その後の詳しい計算は、下の解説を見てみてください。
定積分が含まれた関数（問題）
次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。
\(f(x)=6x^2-x+\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)
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答案の例
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\) \(\cdots\) ※ とおくと、\(f(x)=6x^2-x+A\)
\(x\) を \(t\) に置き換えると、\(f(t)=6t^2-t+A\) \(\cdots\) ①
また、\(f(t)=6t^2-t+A\) を ※ に代入する。
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)
\(=\left[2t^3-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+At\right]_{-1}^1\)
\(=\left(2\cdot 1^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1\right)\)
\(-\left(2\cdot (-1)^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-1)^2+A\cdot (-1)\right)\)
\(=\left(2-\displaystyle\frac{1}{2}+A\right)-\left(-2-\displaystyle\frac{1}{2}-A\right)\)
\(=2-\displaystyle\frac{1}{2}+A+2+\displaystyle\frac{1}{2}+A\)
\(=4+2A\)
よって、\(A=4+2A\) より \(A=-4\)
\(A=-4\) を ① に代入すると、\(f(x)=6x^2-x-4\)
解説
STEP1 定積分部分を文字に置き定数として扱う
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\) \(\cdots\) ※ とおくと、\(f(x)=6x^2-x+A\)
\(x\) を \(t\) に置き換えると、\(f(t)=6t^2-t+A\) \(\cdots\) ①
また、\(f(t)=6t^2-t+A\) を ※ に代入する。
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)
STEP2 右辺の定積分を求める
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)
\(=\left[2t^3-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+At\right]_{-1}^1\)
\(=\left(2\cdot 1^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1\right)\)
\(-\left(2\cdot (-1)^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-1)^2+A\cdot (-1)\right)\)
\(=\left(2-\displaystyle\frac{1}{2}+A\right)-\left(-2-\displaystyle\frac{1}{2}-A\right)\)
\(=2-\displaystyle\frac{1}{2}+A+2+\displaystyle\frac{1}{2}+A\)
\(=4+2A\)
STEP3 \(A\) の値を求める
よって、\(A=4+2A\) より \(A=-4\)
\(A=-4\) を ① に代入すると、\(f(x)=6x^2-x-4\)
おわりに
今回は、定積分が含まれている関数の計算問題でした。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
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