【指数関数】『最大値・最小値』指数部分を文字に置き換える

指数関数の最大・最小

今回は、指数を含んだ関数の最大・最小の問題です。

指数関数の最大・最小を求めるためには二次関数に変換する必要があります。二次関数に変換するためには、指数法則を理解している必要があります。指数法則はややこしい法則が多いので暗記しきれていない人も多いです。最初は、公式を見ながらで良いので解き進めていきましょう！

指数関数

指数法則

指数関数の最大・最小の問題

関数 \(y=4^{x+1}-2^{x+2}+2\) \((x\leq 2)\) の最大値と最小値を求めよ。

答案の例

\(y=4^{x+1}-2^{x+2}+2\)
\(=4^x\times 4^1-2^x\times 2^2+2\)
\(=(2^2)^x\times 4-2^x\times 4+2\)
\(=4\cdot (2^x)^2-4\cdot 2^x+2\)

\(2^x=t\) とおくと、\(y=4t^2-4t+2\)

\(x\leq 2\) なので、図より \(0<t \leq 4\) となる。

よって、

\(y=4t^2-4t+2\) \((0<t \leq 4)\) の最大値・最小値を求める。

\(=4(t^2-t)+2\)
\(=4\left\{\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\right\}+2\)
\(=4\left\{\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-\displaystyle\frac{1}{4}\right\}+2\)
\(=4\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-4\times\displaystyle\frac{1}{4}+2\)
\(=4\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-1+2\)
\(=4\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+1\)

頂点\(\left(\displaystyle\frac{1}{2},\ 1\right)\)

グラフより、

\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき、最小値 \(1\)
\(t=4\) のとき、最大値 \(50\)

\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき \(t=2^x\) より

\(\displaystyle\frac{1}{2}=2^x\)

\(2^{-1}=2^x\)
\(x=-1\)

\(t=4\) のとき \(t=2^x\) より
\(4=2^x\)
\(2^2=2^x\)
\(x=2\)

したがって、
\(x=-1\) のとき、最小値 \(1\)
\(x=2\) のとき、最大値 \(50\)

解説

\(2^x\) を文字に置き換えられるように指数法則を使って式を整理する。
※　底を確認すると、\(4\) と \(2\) なので、底を \(2\) に揃える。

\(y=4^{x+1}-2^{x+2}+2\)
\(=4^x\times 4^1-2^x\times 2^2+2\)
\(=(2^2)^x\times 4-2^x\times 4+2\)
\(=4\cdot (2^x)^2-4\cdot 2^x+2\)

\(2^x=t\) とおくと、\(t\) の関数になる

\(y=4t^2-4t+2\)

\(2^x=t\) とおくと定義域も変わるので注意

\(t=2^x\) \((x\leq 2)\) のグラフを描いてみると、

\(x\leq 2\) なので、図より \(0<t \leq 4\) となる。

よって、

\(y=4t^2-4t+2\) \((0<t \leq 4)\) の最大値・最小値を求める。

\(=4(t^2-t)+2\)
\(=4\left\{\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\right\}+2\)
\(=4\left\{\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-\displaystyle\frac{1}{4}\right\}+2\)
\(=4\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-4\times\displaystyle\frac{1}{4}+2\)
\(=4\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-1+2\)
\(=4\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+1\)

頂点\(\left(\displaystyle\frac{1}{2},\ 1\right)\)

グラフより、\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき、最小値 \(1\)

\(t=4\) のとき、\(t=4\) を \(y=4t^2-4t+2\) の代入すると、

\(y=4\times 4^2-4\times 4+2\)
\(=4\times 16-16+2\)
\(=64-16+2=50\)

最大値 \(50\)

\(t\) の値を \(t=2^x\) に戻して \(x\) の値を求める。

\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき \(t=2^x\) より

\(\displaystyle\frac{1}{2}=2^x\)
\(2^{-1}=2^x\)
\(x=-1\)

\(t=4\) のとき \(t=2^x\) より

\(4=2^x\)
\(2^2=2^x\)
\(x=2\)

よって、

\(x=-1\) のとき、最小値 \(1\)
\(x=2\) のとき、最大値 \(50\)

おわりに

今回は、指数を含んだ関数の最大・最小の問題でした。