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【複素数平面】『複素数と図形』方程式の表す図形

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目次

方程式の表す図形

今回は複素数を含んだ方程式が表す図形についての問題です!

複素数と言えば、\(\alpha+\beta i\) で表される数のことですが、これまでの考え方と大きくは異なりません!

しっかりと図示しながら理解していきましょう。

異なる \(2\) 点 \(A(\alpha)\), \(B(\beta)\) に対して

① 方程式 \(|z-\alpha|=|z-\beta|\) を満たす点 \(P(z)\)

 全体は 線分 \(AB\) の垂直二等分線

② 方程式 \(|z-\alpha|=r\) (\(r>0\)) を満たす点 \(P(z)\)

 全体は 点 \(\alpha\) を中心とする半径 \(r\) の円

(説明)

異なる \(2\) 定点 \(A(\alpha)\), \(B(\beta)\) と動点 \(P(z)\), \(r\) (\(r>0\)) に対して

 \(|z-\alpha|=|z-\beta|\)
\(\longleftrightarrow\) \(AP=BP\)
\(\longleftrightarrow\) 点 \(P\) は \(2\) 点から等距離にある

 \(|z-\alpha|=r\)
\(\longleftrightarrow\) \(AP=r\)
\(\longleftrightarrow\) 点 \(P\) は点 \(A\) から \(r\) (一定) の距離にある。

複素数と図形(問題)

次の方程式を満たす点 \(z\) 全体は、どのような図形か。

(1) \(|2z+1|=|2z-i|\)

(2) \((3z+2)(3\overline{z}+2)=9\)

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解説

(1) 方程式を変形すると、

 \(\big|z+\displaystyle\frac{1}{2}\big|=|z-\displaystyle\frac{i}{2}|\)

よって、点 \(z\) の全体は

\(2\) 点 \(-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{i}{2}\) を結ぶ線分の垂直二等分線

\(-\displaystyle\frac{1}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}+0i\), \(\displaystyle\frac{i}{2}=0+\frac{1}{2}i\) とすると、\(2\) 点 \(\big(-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(0\big)\), \(\big(0\), \(\displaystyle\frac{1}{2}\big)\) を図示すればよい。

(2) 方程式から

\((3z+2)(\overline{3z+2})=9\)

よって \(|3z+2|^2=3^2\)

ゆえに \(|3z+2|=3\)

したがって \(\big|z-\big(-\displaystyle\frac{2}{3}\big)\big|=1\)

よって 点 \(z\) の全体は 点 \(-\displaystyle\frac{2}{3}\) を中心とする半径 \(1\) の円

\(-\displaystyle\frac{2}{3}=-\displaystyle\frac{2}{3}+0i\) とすると、点 \(\big(-\displaystyle\frac{2}{3}\), \(0\big)\) を中心にすれば良い。

おわりに

さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!

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