方程式の表す図形（複素数）
今回は複素数を含んだ方程式が表す図形についての問題です！
複素数と言えば、\(\alpha+\beta i\) で表される数のことですが、これまでの考え方と大きくは異なりません！
しっかりと図示しながら理解していきましょう。
異なる \(2\) 点 \(A(\alpha)\), \(B(\beta)\) に対して
① 方程式 \(|z-\alpha|=|z-\beta|\) を満たす点 \(P(z)\)
全体は 線分 \(AB\) の垂直二等分線
② 方程式 \(|z-\alpha|=r\) (\(r>0\)) を満たす点 \(P(z)\)
全体は 点 \(\alpha\) を中心とする半径 \(r\) の円
（説明）
異なる \(2\) 定点 \(A(\alpha)\), \(B(\beta)\) と動点 \(P(z)\), \(r\) (\(r>0\)) に対して
\(|z-\alpha|=|z-\beta|\)
\(\longleftrightarrow\) \(AP=BP\)
\(\longleftrightarrow\) 点 \(P\) は \(2\) 点から等距離にある
\(|z-\alpha|=r\)
\(\longleftrightarrow\) \(AP=r\)
\(\longleftrightarrow\) 点 \(P\) は点 \(A\) から \(r\) (一定) の距離にある。
複素数と図形（問題）
次の方程式を満たす点 \(z\) 全体は、どのような図形か。
(1) \(|2z+1|=|2z-i|\)
(2) \((3z+2)(3\overline{z}+2)=9\)
解説
(1) 方程式を変形すると、
\(\big|z+\displaystyle\frac{1}{2}\big|=|z-\displaystyle\frac{i}{2}|\)
よって、点 \(z\) の全体は
\(2\) 点 \(-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{i}{2}\) を結ぶ線分の垂直二等分線
\(-\displaystyle\frac{1}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}+0i\), \(\displaystyle\frac{i}{2}=0+\frac{1}{2}i\) とすると、\(2\) 点 \(\big(-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(0\big)\), \(\big(0\), \(\displaystyle\frac{1}{2}\big)\) を図示すればよい。
(2) 方程式から
\((3z+2)(\overline{3z+2})=9\)
よって \(|3z+2|^2=3^2\)
ゆえに \(|3z+2|=3\)
したがって \(\big|z-\big(-\displaystyle\frac{2}{3}\big)\big|=1\)
よって 点 \(z\) の全体は 点 \(-\displaystyle\frac{2}{3}\) を中心とする半径 \(1\) の円
\(-\displaystyle\frac{2}{3}=-\displaystyle\frac{2}{3}+0i\) とすると、点 \(\big(-\displaystyle\frac{2}{3}\), \(0\big)\) を中心にすれば良い。
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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