数列の極限
今回は数列の極限について解説していきます。
数列以外にも、関数の極限について考える単元もありますので合わせてどうぞ！
数列の極限
数列\(\{a_n\}\) (\(n=1\), \(2\), \(3\), \(\cdots\) ) は無限数列とする。
① 収束 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=\alpha\) (極限値) 極限あり
② 発散
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\infty\) 極限あり
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=-\infty\) 極限あり
数列は振動する 極限なし
数列の極限の性質
数列 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) が収束して、
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \beta\) とする。
① 定数倍 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} ka_n=k\alpha\) ただし \(k\) は定数
② 和 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=\alpha+\beta\)
差 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=\alpha-\beta\)
③ \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (ka_n+lb_n)\) ただし \(k\), \(l\) は定数
④ 積 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_nb_n=\alpha\beta\)
⑤ 商 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\) ただし \(\beta\neq 0\)
数列の大小関係と極限
① すべての \(n\) について \(a_n\leq b_n\) のとき
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\beta\) ならば \(\alpha\leq\beta\)
② すべての \(n\) について \(a_n\leq b_n\) のとき
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\infty\) ならば \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\infty\)
③ すべての \(n\) について \(a_n\leq c_n\leq b_n\) のとき
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} b_n=\alpha\) ならば \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_n=\alpha\)
数列 \(\{n^k\}\) の極限
\(k>0\) のとき
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^k=\infty\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0\)
極限の問題
（例題①）
第 \(n\) 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(1) \(1-\displaystyle\frac{1}{2n^3}\)
(2) \(3n-n^3\)
(3) \(\displaystyle\frac{2n^2-3}{n^2+1}\)
(4) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}}\)
（解説）
(1) \(1-\displaystyle\frac{1}{2n^3}\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{2n^3}\)
\(=1-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\)
\(=1-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 0=1\)
(2) \(3n-n^3\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3n-n^3)\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^3\big(\frac{3}{n^2}-1\big)=-\infty\)
(3) \(\displaystyle\frac{2n^2-3}{n^2+1}\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-3}{n^2+1}\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac{3}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}\)
(4) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}}\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}}\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}{(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n})(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n})}\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n}}{(2n+1)-2n}\)
\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n})=\infty\)
（例題②）
極限 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n\pi}{n}\) を求めよ。
（解説）
はさみうちの原理の利用を考える。
\(a_n\leq\displaystyle\frac{\cos n\pi}{n}\leq b_n\) の形を作るために、
かくれた条件 \(-1\leq\cos\theta\leq 1\) を利用。
\(-1\leq\cos n\pi\leq 1\) であるから、
\(-\displaystyle\frac{1}{n}\leq\frac{\cos n\pi}{n}\leq \frac{1}{n}\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(-\frac{1}{n}\big)\leq\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n\pi}{n}\leq \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big(-\frac{1}{n}\big)=0\), \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\) であるから
はさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n\pi}{n}=0\)
おわりに
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