定積分が含まれた関数
今回は定積分が含まれた関数の問題です！
こういう問題を解いていきます！
（例題）
\(f(x)=6x^2-x+\) \(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)
式の赤い部分に着目してみましょう。
\(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)
\(f(t)\) には \(2t+1\) のような \(t\) の関数が入っていると考えます。
その関数を積分範囲 \(-1\) から \(1\) で定積分することを考えると、計算結果は定数になることがわかります。
よって、この部分を定数 \(A\) とおいてしまいましょう。
「\(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt=A\) とおく。」
その後の詳しい計算は、下の解説を見てみてください。
定積分が含まれた関数（問題）
次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。
\(f(x)=6x^2-x+\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\)
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答案の例
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\) \(\cdots\) ※ とおくと、\(f(x)=6x^2-x+A\)
\(x\) を \(t\) に置き換えると、\(f(t)=6t^2-t+A\) \(\cdots\) ①
また、\(f(t)=6t^2-t+A\) を ※ に代入する。
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)
\(=\left[2t^3-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+At\right]_{-1}^1\)
\(=\left(2\cdot 1^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1\right)\)
\(-\left(2\cdot (-1)^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-1)^2+A\cdot (-1)\right)\)
\(=\left(2-\displaystyle\frac{1}{2}+A\right)-\left(-2-\displaystyle\frac{1}{2}-A\right)\)
\(=2-\displaystyle\frac{1}{2}+A+2+\displaystyle\frac{1}{2}+A\)
\(=4+2A\)
よって、\(A=4+2A\) より \(A=-4\)
\(A=-4\) を ① に代入すると、\(f(x)=6x^2-x-4\)
解説
STEP1 定積分部分を文字に置き定数として扱う
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt\) \(\cdots\) ※ とおくと、\(f(x)=6x^2-x+A\)
\(x\) を \(t\) に置き換えると、\(f(t)=6t^2-t+A\) \(\cdots\) ①
また、\(f(t)=6t^2-t+A\) を ※ に代入する。
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)
STEP2 右辺の定積分を求める
\(A=\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A)dt\)
\(=\left[2t^3-\displaystyle\frac{1}{2}t^2+At\right]_{-1}^1\)
\(=\left(2\cdot 1^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2+A\cdot 1\right)\)
\(-\left(2\cdot (-1)^3-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-1)^2+A\cdot (-1)\right)\)
\(=\left(2-\displaystyle\frac{1}{2}+A\right)-\left(-2-\displaystyle\frac{1}{2}-A\right)\)
\(=2-\displaystyle\frac{1}{2}+A+2+\displaystyle\frac{1}{2}+A\)
\(=4+2A\)
STEP3 \(A\) の値を求める
よって、\(A=4+2A\) より \(A=-4\)
\(A=-4\) を ① に代入すると、\(f(x)=6x^2-x-4\)
おわりに
今回は、定積分が含まれている関数の計算問題でした。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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