定積分の途中計算
今回は積分を用いて面積を求める問題です！
今回扱う問題は定期テスト、大学入試で頻出となっています。グラフを正しく描くことができるか否かで、立式のしやすさが大きく異なります。
いつも以上に丁寧にグラフを描きましょう。
今回の問題のポイント
区間 \(a\leq x \leq b\) で常に \(f(x)\geq g(x)\) とする。
\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=\displaystyle\int_a^b {f(x)-g(x)} dx\)
定積分の問題
曲線 \(y=x^3-2x^2-x+2\) と \(x\) 軸に囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
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（解説）
\(x^3-2x^2-x+2=0\) とおき、\(x\) 軸との交点を求める。
また、\(y=f(x)\) とおくと、\(f(1)=0\) となるので、
組み立て除法より、
\((x-1)(x^2-x-2)\)
\(=(x-1)(x+1)(x-2)\)
\(x=-1\), \(1\), \(2\)
このことを踏まえると、\(y=x^3-2×2-x+2\) のグラフの概形は、
グラフと \(x\) 軸の囲まれた部分がわかればいいので、ざっくりとしたグラフで良いです！
ここで、「曲線 \(y=x^3-2x^2-x+2\) と \(x\) 軸に囲まれた図形の面積 \(S\) 」
の「\(x\) 軸」の部分を「 \(y=0\)」 と言い換えられるので、
「曲線 \(y=x^3-2x^2-x+2\) と 直線 \(y=0\) に囲まれた図形の 面積\(S\)」
と言い換えられます。
そのことを踏まえつつ、立式すると、
\(S=\) \(\displaystyle\int_{-1}^1 \{(x^3-2x^2-x+2)-0\} dx\) \(+\) \(\displaystyle\int_1^2 \{0-(x^3-2x^2-x+2)\} dx\)
\(=\) \(\displaystyle\int_{-1}^1 (x^3-2x^2-x+2) dx\) \(+\) \(\displaystyle\int_1^2 (-x^3+2x^2+x-2) dx\)
\(=\) \(\left[\displaystyle\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-1}^1\) \(+\) \(\left[-\displaystyle\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x\right]_{1}^2\)
赤色部分を計算する。
\(\left[\displaystyle\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-1}^1\)
\(=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\times 1^4-\frac{2}{3}\times 1^3-\frac{1}{2}\times 1^2+2\times 1\right)\)
\(-\left(\displaystyle\frac{1}{4}\times (-1)^4-\frac{2}{3}\times (-1)^3-\frac{1}{2}\times (-1)^2+2\times (-1)\right)\)
\(=\left(\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}-2\right)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2-\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+2\)
\(=-\displaystyle\frac{4}{3}+4\)
\(=\displaystyle\frac{8}{3}\)
青色部分を計算する
\(\left[-\displaystyle\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x\right]_{1}^2\)
\(=\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\times 2^4+\frac{2}{3}\times 2^3+\frac{1}{2}\times 2^2-2\times 2\right)\)
\(-\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\times 1^4+\frac{2}{3}\times 1^3+\frac{1}{2}\times 1^2-2\times 1\right)\)
\(=\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\times 16+\frac{2}{3}\times 8+\frac{1}{2}\times 4-4\right)\)
\(-\left(-\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-2\right)\)
\(=\left(-4+\displaystyle\frac{16}{3}+2-4\right)-\left(-\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-2\right)\)
\(=-4+\displaystyle\frac{16}{3}+2-4+\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2\)
\(=-4+\displaystyle\frac{14}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\)
\(=-\displaystyle\frac{48}{12}+\frac{56}{12}+\displaystyle\frac{3}{12}-\frac{6}{12}\)
\(=\displaystyle\frac{5}{12}\)
よって、\(\displaystyle\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\displaystyle\frac{37}{12}\)
おわりに
今回は積分を用いて面積を求める問題でした！
あえて小細工は一切使わずに計算してみました。工夫して計算するスキルは後からでも身につけられますが、ゴリ押しで計算する力はなかなか身に付きません。まずは苦しい計算をあえて選択してみるのが数学力をあげる一歩かもしれませんね。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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