【能登半島地震M7.6を観測】マグニチュードと震度の違いとマグニチュードの求め方

2024年1月10日2024年2月11日

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まずはじめに、2024年1月1日に能登半島を襲った能登半島地震の被害に遭われた方に心よりお見舞い申し上げます。

日本全体に大きな衝撃が走りましたし、日本全体でやれることを考えていかなければいけません。

私は、これまで数学を勉強研究してきました。自分自身もやれることがないか？を考えてペンを持ちましたが、気付いたらマグニチュードの算出方法について調べていました。

数学を専門にしてきた身として、これが私にできることかもしれない。と思い記事を書かせていただき、一人でも多くの人に考えるきっかけを与えられれば幸いです。

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マグニチュードと震度の違い

マグニチュード：地震そのものの大きさ（規模）を表すものさし

震度：ある大きさの地震が起きた時の私たちが生活している場所での揺れの強さのこと

マグニチュードが大きければ震度も大きくなるとは限りません。

マグニチュードが小さい地震でも震源からの距離が近いと地面は大きく揺れて、震度は大きくなります。(図1)

また、マグニチュードが大きい地震でも震源からの距離が遠いと地面はあまり揺れなく、震度は小さくなります。(図2)

マグニチュードと地震エネルギーの関係

\(E\)：地震エネルギー
\(M\)：マグニチュード

　\(\log_{10} E=4.8+1.5M\)

〈マグニチュードとエネルギーの関係〉

対数を指数に直すと、\(E=10^{4.8+1.5M}\)

マグニチュード \(7\) と \(8\) を比べてみましょう！

① \(7\) のとき

　\(E=10^{4.8+1.5\cdot 7}=10^{15.3}\)

② \(8\) のとき

　\(E=10^{4.8+1.5\cdot 8}=10^{16.8}\)

差を求めると、\(10^{16.8}-10^{15.3}=10^{1.5}\)

よって、マグニチュードが \(1\) 大きくなると、地震のエネルギーは、\(10^{1.5}=31.622\cdots\) (倍)

になることがわかります。

つまり、マグニチュードが \(2\) 増えると、地震のエネルギーは \(32\times 32=1004\) 倍も大きくなるのです。

マグニチュードが大きければ大きいほど地震のエネルギーも大きくなります。エネルギーと言われてもピンとこない人もいると思うので以下を参考にしてみてください。

マグニチュード	エネルギー	備考
	\(4184J\)	\(1\)リットルの水を \(1^\circ C\) 上げるときのエネルギー
\(7.3\)	\(7.94PJ\) \(7940\) 兆ジュール	兵庫県南部地震
\(8.2\)	\(125PJ\) \(12\) 京 \(2500\) 兆ジュール	関東大震災
\(9.0\)	\(2.00EJ\) \(200\) 京ジュール	東日本大震災
\(9.2\)	\(3.98EJ\)	\(2019\) 年日本国内年間発電量(\(3.68EJ\))

東日本大震災で発生したエネルギーは、日本国内の年間発電量の約半分です。これを見ても東日本大震災がどれほどの地震だったのかがわかりますね。

マグニチュードについて

モーメントマグニチュード

断層面の剛性率：\(\mu\) (\(Pa\))
断層面積の合計：\(A\)（\(m^2\)）
変異量の平均：\(\overline{D}\)（\(m\)）

地震モーメントを \(M_0\) とすると、

　\(M_0=\mu A\overline{D}\)（\(N\cdot m\)）

そして、モーメントマグニチュードを \(M_w\) とすると、

　\(M_w=\displaystyle\frac{2}{3}\log_{10} M_0-10.7\)

マグニチュードには色々とある

地震波の測定方法によって使用されるものが異なります。

地震のタイプ、入手可能な情報、マグニチュードを使用する目的などにより、異なるマグニチュードスケールが使われます。

・実体波マグニチュード
・表面波マグニチュード
・気象庁マグニチュード

などが挙げられます。

東日本大震災のマグニチュードを計算

東日本大震災のマグニチュード(\(9.0\))を計算してみましょう。

下部の資料を参考にしましたが、正しい値を全て見つけることはできませんでした。

モーメントマグニチュードの計算手順は正しいはずですので参考になれば幸いです。

断層面の剛性率(\(\mu\))：\(3.0\times 10^{11}\)(\(dyn/cm^2\))
断層面積の合計(\(cm^2\))：\((510\times 10^5)\times (210\times 10^5)\) (\(cm^2\))
変位量の平均(\(cm\))：\(12\times 10^2\)(\(cm\))

よって、

\(M_0=3.0\times 510\times 210\times 12\times 10^{23}\)
　\(=3.86\times 10^{29}\)

したがって、

\(M_w=\displaystyle\frac{2}{3}\log_{10} (3.86\times 10^{29})-10.7\)

　\(=\displaystyle\frac{2}{3}(\log_{10} 3.86+\log_{10} 10^{29})-10.7\)

　\(=\displaystyle\frac{2}{3}(0.5866+29)-10.7\)
　（常用対数表を参照）

　\(=\displaystyle\frac{2}{3}(29.5866)-10.7\)

　\(=9.0244\)