定期テスト対策
〜三角比編〜
テスト対策（三角比）
三角比の定義は２種類あります。
- 三角形を利用した定義
- 座標平面を利用した定義
教科書に載っているのは一般的には三角比です。しかし、応用問題に対応するためには「座標平面」を利用した定義を覚えておくと良いでしょう。
三角比の定義
\(\triangle{ABC}\) において、
\(\sin\theta=\displaystyle\frac{b}{c}\)
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{a}{c}\)
\(\sin\theta=\displaystyle\frac{b}{a}\)
三角形を使用した一般的な定義です。
↓この公式を活用した問題はこちら
拡張された三角比の定義
\(\sin\theta=\displaystyle\frac{y座標}{半径r}\)
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{x座標}{半径r}\)
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{y座標}{x座標}\)
三角形を用いた定義が主流だが、複雑な問題になると扱いづらくなります。そのため、座標平面を用いた定義で慣れておくと、数学Ⅱで扱う三角関数も扱いやすくなります。
↓三角比の定義について詳しく確認したい方はこちら
三角比の相互関係
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(\tan^2\theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\)
三角比の相互関係を用いる主なパターンは、以下の２つです。
① すでに求められている三角比を用いて、他の三角比を求めるとき
例）\(\sin\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\) (\(0^\circ\leq\theta \leq180^\circ\)) のとき、\(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) の値を求めよ。
↓詳細はこちら
② 関数の三角比を揃える時に使用します。
例）\(2\sin^2\theta-\cos\theta-1\leq 0\) \((0^\circ\leq \theta \leq 180^\circ)\)
↓詳細はこちら
三角比の含んだ方程式
手順
- 三角比を揃える
- 因数分解をする
例）\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\) を解け。
このままだと、三角比が揃っていないので、計算することができません。
三角比を揃えてから方程式を解く必要があります。
↓詳しくはこちらを確認してみましょう。
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三角比を含んだ不等式
手順
- 三角比を揃える
- 因数分解をする
例）不等式 \(\sin\theta>\displaystyle\frac{1}{2}\) \((0^\circ\leq\theta\leq 180^\circ)\) を満たす \(theta\) の値の範囲を求めよ。
方程式の時と同様、三角比を揃える作業が必要です。今回は、\(\sin\theta\) しか表示されていないので、すぐに計算することができます。因数分解をする必要もないので、図形を描いて解いてしまいましょう。
↓詳しくはこちらをチェックしてください
なす角
タンジェントの定義
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{y座標}{x座標}\)
ここで、直線の傾きの定義を見てみると、（傾き）\(=\displaystyle\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
このことから、座標平面上では次のことが言える。
\(\tan\theta=直線の傾き\)
↓なす角を用いた問題の例題はこちら
正弦定理と余弦定理
正弦定理と余弦定理
\(\triangle{ABC}\) において、外接円を \(R\) とおくと、
正弦定理
\(\displaystyle\frac{a}{\sin\angle{A}}=\frac{b}{\sin\angle{B}}=\frac{c}{\sin\angle{C}}=2R\)
余弦定理
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\angle{A}\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos\angle{B}\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\angle{C}\)
三角形の面積
\(\triangle{ABC}\) の面積を \(S\) とおくと、
与えられている辺の大きさや角度によって下記の公式を使い分けましょう。
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin\angle A\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin\angle B\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\angle C\)
↓余弦定理と三角形の面積の公式を用いた問題はこちら
おわりに
今回は、定期テスト対策の三角比編でした。
各単元の例題も確認しながら勉強を進めてください！
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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