\(2\) 曲線間の面積
今回は \(2\) 曲線で囲まれた面積を求める問題です。
曲線が三角比で表されているので、「三角比の不定積分」「三角比のグラフ」「定積分の基本知識」が理解できていることが必要になります。
\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) と \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\)に囲まれた面積 \(S\) を求めるとき、
上下の関数が切り替わっている点に注意すると、
\(S=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|dx\)
最初の方は青い曲線が上にいますが、途中から赤い曲線が上に来ていますね！
\(2\) 曲線間の面積（問題）
区間 \(0\leq x\leq 2\pi\) において、\(2\) つの曲線 \(y=\sin x\), \(y=\sin 2x\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
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\(2\) 曲線間の面積（解説）
まずは \(2\) 曲線の交点を求めます。
\(\sin x=\sin 2x\)
\(\sin x=2\sin x\cos x\)
\(\sin x-2\sin x\cos x=0\)
\(\sin x(1-2\cos x)=0\)
\(\sin x=0\), \(\cos x=\frac{1}{2}\)
\(x=0\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\pi\), \(\frac{5\pi}{3}\), \(2\pi\)
交点に気をつけながら \(2\) つの曲線のグラフを描いてみましょう！
よって、\(\sin x\) と \(\sin 2x\) に囲まれた部分は以下のようになります。
面積 \(S\) を求める図形は点 \((\pi\), \(0)\) に関して対称なので、
\(S=2\big\{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x-\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}(\sin x-\sin 2x)dx\big\}\)
\(=2\big\{\big[-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x+\cos x\big]_0^{\frac{\pi}{3}}+\big[-\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x\big]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}\big\}\)
\(=2\big\{\big(\displaystyle\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\big)-\big(-\frac{1}{2}+1\big)+\big(1+\frac{1}{2}\big)-\big(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\big)\big\}\)
\(=2\big(\displaystyle\frac{3}{4}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\big)\)
\(=2\times\displaystyle\frac{10}{4}\)
\(=5\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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