三角比を使った三角形の面積
今回は三角比を用いた三角形の面積の求め方について解説していきます！
▼三角比を用いた三角形の面積
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}bc\sin A\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}ac\sin B\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C\)
▼ヘロンの公式
\(s=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}\)
\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(3\) 辺の長さがわかっていれば、ヘロンの公式の方が便利です！
三角形の面積（問題）
次のような \(\triangle{ABC}\) の面積 \(S\) を求めよ。
(1) \(a=3\), \(c=2\sqrt{2}\), \(B=45^{\circ}\)
(2) \(a=6\), \(b=5\), \(c=4\)
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解説
(1) \(a=3\), \(c=2\sqrt{2}\), \(B=45^{\circ}\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2} ca\sin B\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sin 45^{\circ}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=3\)
(2) \(a=6\), \(b=5\), \(c=4\)
\(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 4}\)
\(=\displaystyle\frac{5}{8\cdot 5}=\frac{1}{8}\)
\(\sin A>0\) であるから
\(\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}\)
\(=\sqrt{1-\big(\displaystyle\frac{1}{8}\big)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8}\)
よって、
\(S=\displaystyle\frac{1}{2} bc \sin A\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}\)
\(=\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4}\)
(別解)
ヘロンの公式を用いると、
\(s=\displaystyle\frac{6+5+4}{2}=\frac{15}{2}\)
であるから、
\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{15}{2}\cdot\big(\frac{15}{2}-6\big)\cdot\big(\frac{15}{2}-5\big)\cdot\big(\frac{15}{2}-4\big)}\)
\(=\sqrt{\displaystyle\frac{15\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2^4}}\)
\(=\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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