【命題】『背理法』背理法を用いた証明問題

背理法を用いた証明

今回は、背理法を用いた証明問題です。

証明問題は苦手な方が多いと思います。しかし、高校数学の証明問題は細かいことは気にせずに、最初のうちはパターン化して覚えてしまうのが意外と近道な場合があります。パターン化させて機械的に解いていると、知らないうちに理解できているものです。

背理法
ある命題 \(X\) に対し、\(X\) が成り立たないと仮定して、矛盾を導くことにより、\(X\) が成り立つことを示す証明法のことをいう。

背理法の例
「〜である」　　　→「〜でない」と仮定する。
「無理数である。」→「有理数である。」と仮定する。
「\(=\)」　　　　　→「\(\neq\)」と仮定する。

背理法の問題

\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) は無理数であることを証明せよ。ただし、\(\sqrt{7}\) は無理数であることは知られているものとする。

答案の例

\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) は有理数であると仮定する。

\(\sqrt{5}+\sqrt{7}=r\)とおく。

\begin{eqnarray} \sqrt{5}&=&r-\sqrt{7}\\ 　5&=&r^2-2r\sqrt{7}+7\\ 　2r\sqrt{7}&=&r^2+2\\ 　\sqrt{7}&=&\displaystyle\frac{r^2+2}{2r} \end{eqnarray}

\(r\) は有理数より、\(2r\) と \(r^2+2\) も共に有理数となる。

よって、\(\displaystyle\frac{r^2+2}{2r}\) は有理数となり、左辺の \(\sqrt{7}\) も有理数となる。

これは \(\sqrt{7}\) が無理数であることに矛盾する。したがって、\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) は無理数である。

解説

与式を文字に置く

\(\sqrt{5}+\sqrt{7}=r\) とおく。

\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) は有理数であると仮定しているので、\(r\) も有理数

　\(\sqrt{5}=r-\sqrt{7}\)

両辺を2乘すると、

　\(5=r^2-2r\sqrt{7}+7\)

　\(2r\sqrt{7}=r^2+2\)

　\(\sqrt{7}=\displaystyle\frac{r^2+2}{2r}\)

矛盾を見つける。

　\(\sqrt{7}=\displaystyle\frac{r^2+2}{2r}\) について

\(r\) は有理数より、\(2r\) と \(r^2+2\) も共に有理数となる。

よって、\(\displaystyle\frac{r^2+2}{2r}\)は有理数となり、左辺の \(\sqrt{7}\) も有理数となる。

これは \(\sqrt{7}\) が無理数であることに矛盾する。

※　問題文に「 \(\sqrt{7}\) は無理数である」ということは明記されている。

したがって、\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) は無理数である。

おわりに

今回は、背理法を用いた証明問題でした。

証明問題は難しいですが、細かいことは考えずに、

　「無理数もしくは有理数が含まれた証明問題には背理法を使用する。」

とパターン化させてしまっても良いかもしれません。