【数列】『数列の和』 \(2\) 種類の数列の組み合わせ問題②

規則的に並んでいる列を \(2\) つ見つけよう

今回も、数列が \(2\) 種類組み合わさっている場合の和の求め方についてです。

前回は各項の中が積の形をしていました。（\(1 \cdot 3 ,　3 \cdot 5 ,　5\cdot7 ,　7\cdot 9 ,　\cdots\)）
今回は、各項の中が和の形になっているものを紹介します。

\(2\) 種類の数列の組み合わせによる和②（問題）

次の数列の初項から第 \(n\) 項までの和を求めなさい。

　　\(3+4 ,　3^2+7 ,　3^3+10 ,　3^4+13 ,　\cdots\)

\(2\) 種類の数列の組み合わせによる和②（答案の例）

与えられた数列の第 \(n\) 項を \(a_{n}\) とすると、

　\(a_{n}=3^n+(3n+1)\)
　　　\(=3^n+3n+1\)

よって、初項から第 \(n\) 項までの和は、

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}\)
　\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (3^k+3k+1)\)
　\(=\displaystyle \frac{3(3^n-1)}{3-1}+3 \times \frac{1}{2}n(n+1)+n\)
　\(=\displaystyle \frac{1}{2}\big\{(3^{n+1}-3)+(3n^2+3n)+2n\big\}\)
　\(=\displaystyle \frac{1}{2}(3^{n+1}+3n^2+5n-3)\)

\(2\) 種類の数列の組み合わせによる和②（解説）

以前、こういった問題を解く際は、各項の前半と後半で規則性を見つけるという話をしました。（「\(2\) 種類の数列の組み合わせ問題①」をご覧ください。）

今回も同様に考えていきます。

各項の前半は
　 \(3,　3^2,　3^3,　3^4,　\cdots\)
となっているため、等比数列の一般項を求める公式により、
　　\(3 \times 3^{n-1}\)
　\(=3^n \cdots ❶\)

後半は、
　 \(4,　7,　10,　13,　\cdots\)
となっているため、こちらは等差数列の一般項を求める公式により、
　　\(4+(n-1) \times 3\)
　\(=3n+1 \cdots ❷\)

❶と❷の和が第 \(n\) 項なので、

　\(3^n+(3n+1)\)
　\(=3^n+3n+1\)

よって、初項から第 \(n\) 項までの和は、
　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (3^k+3k+1)\)
　\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n} 3^k+3 \times \sum_{k=1}^{n} k+\sum_{k=1}^{n} 1\)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 3^k\) については、等比数列の和の公式を使い、\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k\) はシグマの公式で変形することで、

\(\displaystyle \frac{3(3^n-1)}{3-1}+3 \times \frac{1}{2}n(n+1)+n\)
　※\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1\) が \(n\) になる理由については、「\(2\) 種類の数列の組み合わせ問題①」をご覧ください。

となります。あとはこの式を整理して、

\(\displaystyle \frac{3^{n+1}-3}{2}+\frac{3}{2}n(n+1)+n\)
　\(=\displaystyle \frac{1}{2}\big\{(3^{n+1}-3)+3n(n+1)+2n\big\}\)
　\(=\displaystyle \frac{1}{2}\big\{(3^{n+1}-3)+(3n^2+3n)+2n\big\}\)
　\(=\displaystyle \frac{1}{2}(3^{n+1}+3n^2+5n-3)\)