内分・外分の公式
\(A(x_a\), \(y_a)\), \(B(x_b\), \(y_b)\) のとき
線分 \(AB\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\) の座標は、
\(P\Big(\displaystyle\frac{nx_a+mx_b}{m+n}\), \(\displaystyle\frac{ny_a+my_b}{m+n}\Big)\)
線分 \(AB\) を \(m:n\) に外分する点 \(Q\) の座標は、
\(Q\Big(\displaystyle\frac{-nx_a+mx_b}{m-n}\), \(\displaystyle\frac{-ny_a+my_b}{m-n}\Big)\)
内分点・外分点
定義
線分 \(AB\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\)
→ \(AP:PB=m:n\) を満たす点で線分 \(AB\) の内側にあるもの
線分 \(AB\) を \(m:n\) に外分する点 \(Q\)
→\(AQ:QB=m:n\) を満たす点で線分 \(AB\) の外側にあるもの
内分点・外分点の公式と証明
内分点・外分点の公式
座標
\(A(x_a\), \(y_a)\), \(B(x_b\), \(y_b)\) のとき
線分 \(AB\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\) の座標は、
\(P\Big(\displaystyle\frac{nx_a+mx_b}{m+n}\), \(\displaystyle\frac{ny_a+my_b}{m+n}\Big)\)
線分 \(AB\) を \(m:n\) に外分する点 \(Q\) の座標は、
\(Q\Big(\displaystyle\frac{-nx_a+mx_b}{m-n}\), \(\displaystyle\frac{-ny_a+my_b}{m-n}\Big)\)
ベクトル
\(A\) の位置ベクトルを \(\overrightarrow{a}\), \(B\) の位置ベクトルを \(\overrightarrow{b}\) とするとき、
線分 \(AB\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\) の位置ベクトルは、
\(P\big(\displaystyle\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\), \(\displaystyle\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\big)\)
線分 \(AB\) を \(m:n\) に外分する点 \(Q\) の位置ベクトルは、
\(Q\big(\displaystyle\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\), \(\displaystyle\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\big)\)
内分点・外分点の公式の証明
座標、ベクトルそれぞれ表現は異なりますが同じ方法で証明することができます。今回はベクトルの表現を用いて証明します。
内分点
\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=\displaystyle\frac{m}{m+n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)
\(=\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{m}{m+n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)
\(=\displaystyle\frac{(m+n)\overrightarrow{a}}{m+n}+\displaystyle\frac{m}{m+n}\overrightarrow{b}-\displaystyle\frac{m}{m+n}\overrightarrow{a}\)
整理すると、\(\overrightarrow{p}=\displaystyle\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)
外分点
\(m>n\) のときを証明します。\(m<n\) のときも同様にできます。
\(\overrightarrow{AQ}=\displaystyle\frac{m}{m-n}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}=\displaystyle\frac{m}{m-n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)
\(=\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{m}{m-n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)
\(=\displaystyle\frac{(m-n)\overrightarrow{a}}{m-n}+\displaystyle\frac{m}{m-n}\overrightarrow{b}-\displaystyle\frac{m}{m-n}\overrightarrow{a}\)
整理すると、\(\overrightarrow{q}=\displaystyle\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\)
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内分点・外分点を使った例題と解説
問題
(1) \(A(-1\), \(3)\), \(B(5\), \(0)\) を \(2:1\) に内分する点の座標を求めよ。
(2) \(A(-2\), \(1)\), \(B(2\), \(3)\) を \(3:1\) に内分する点の座標を求めよ。
解答
(1) \(A(-1\), \(3)\), \(B(5\), \(0)\) を \(2:1\) に内分する点の座標を求めよ。
\(\Big(\displaystyle\frac{1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2+1}\), \(\displaystyle\frac{1\cdot 3+2\cdot 0}{2+1}\Big)\)
\(\Big(\displaystyle\frac{-1+10}{3}\), \(\displaystyle\frac{3}{3}\Big)\)
\((3\), \(1)\)
(2) \(A(-2\), \(1)\), \(B(2\), \(3)\) を \(3:1\) に内分する点の座標を求めよ。
\(\Big(\displaystyle\frac{-1\cdot (-2)+3\cdot 2}{3-1}\), \(\displaystyle\frac{-1\cdot 1+3\cdot 3}{3-1}\Big)\)
\(\Big(\displaystyle\frac{2+6}{2}\), \(\displaystyle\frac{-1+9}{2}\Big)\)
\((4\), \(4)\)
おわりに
内分点と外分点の公式をそれぞれ解説してきました！
定義
線分 \(AB\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\)
→ \(AP:PB=m:n\) を満たす点で線分 \(AB\) の内側にあるもの
線分 \(AB\) を \(m:n\) に外分する点 \(Q\)
→\(AQ:QB=m:n\) を満たす点で線分 \(AB\) の外側にあるもの
慣れるまでは大変ですが、今回の記事で導入を確認した上で演習を重ねてみてくださいね。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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