二曲線間の面積
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(f(x)\geq g(x)\) とする。\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=\displaystyle\int^b_a \{f(x)-g(x)\} dx\)
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二曲線間の面積（問題）
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ・
(1) \(y=x^2-x-1\), \(y=x+2\)
(2) \(y=x^2-2x\), \(y=-x^2+x+2\)
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解説
(1) \(y=x^2-x-1\), \(y=x+2\)
曲線と直線の交点を求める
\(x^2-x-1=x+2\) より
\(x^2-2x-3=0\)
\((x+1)(x-3)=0\)
\(x=-1\), \(3\)
よって、
\(\displaystyle\int^3_{-1} \{(x+2)-(x^2-x-1)\} dx\)
\(=-\displaystyle\int^3_{-1} (x^2-2x-3) dx\)
\(=-\displaystyle\int^3_{-1} (x+1)(x-3) dx\)
1/6 公式
\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta) dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
1/6公式より
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(-1-3)^3\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(-64)=\frac{32}{3}\)
(2) \(y=x^2-2x\), \(y=-x^2+x+2\)
\(x^2-2x=-x^2+x+2\)
\(2x^2-3x-2=0\)
\((2x+1)(x-2)=0\)
\(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(2\)
よって、
\(\displaystyle\int^2_{-\frac{1}{2}} \{(-x^2+x+2)-(x^2-2x)\} dx\)
\(-\displaystyle\int^2_{-\frac{1}{2}} (2x^2-3x-2)\} dx\)
\(-2\displaystyle\int^2_{-\frac{1}{2}} (x+\frac{1}{2})(x-2) dx\)
1/6 公式
\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta) dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
1/6公式より
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{1}{2}-2)^3\)
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{5}{2})^3\)
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{125}{8})\)
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{125}{8})=\displaystyle\frac{125}{24}\)
おわりに
積分法を用いた面積の求め方は、とにかくグラフを丁寧に描きましょう。グラフが描ければ（上のグラフ）ー（下のグラフ）を積分するだけとなります。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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