【積分】『面積』放物線と2直線で囲まれた面積

放物線と2直線で囲まれた面積

放物線と \(2\) つの接線で囲まれた面積を求める問題を扱います。

この問題では、定積分の計算ができることはもちろんですが、その前にまずはグラフを描くスキルが必要になります。
丁寧にグラフを描くことができればあとは計算だけです！

放物線と2直線で囲まれた面積（問題）

放物線 \(C\)：\(y=x^2-4x+3\) 上の点 \(P\)(0, 3),　\(Q\)(6, 15) における接線を、それぞれ \(l\),　\(m\) とする。この２つの接線と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

解説

\(y’=2x-4\)

① \(x=0\) のとき \(y’=-4\)

点 \(P(0\),　\(3)\) を通るので、 \(y-3=-4(x-0)\)
\(l\)：\(y=-4x+3\) \(\cdots\) ①

② \(x=6\) のとき \(y’=8\) より

点 \(Q(6\),　\(15)\) を通るので、\(y-15=8(x-6)\)
\(m\)：\(y=8x-33\) \(\cdots\) ②

放物線\(C\),　直線 \(l\),　\(m\) より

\(S=\displaystyle\int^3_0\{(x^2-4x+3)-(-4x+3)\}dx+\int_3^6\{(x^2-4x+3)-(8x-33)\}dx\)

\(=\displaystyle\int_0^3x^2dx+\int_3^6(x^2-12x+36)dx\)

\(=\displaystyle\int_0^3x^2dx+\int_3^6(x-6)^2dx\)

\(=\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3\right]_0^3+\left[\displaystyle\frac{1}{3}(x-6)^3\right]_3^6\)

\(=\displaystyle\frac{1}{3}(3^3-0^3)+\left\{\displaystyle\frac{1}{3}(6-6)^3-\frac{1}{3}(3-6)^3\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 27+\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 0^3-\frac{1}{3}(-3)^3\)

\(=9+9=18\)

\(\displaystyle\int (x-a)^2dx=\displaystyle\frac{1}{3}(x-a)^3+C\) （\(C\) は積分定数

おわりに