ベクトルの等式の証明
ベクトルを含んだ等式の証明の解き方について解説していきます！
ベクトルの計算をするときに注目する点は、「始点」です。
始点が揃っていればそこまで難しい問題ではございません。以下の公式を用いて視点を揃えた上で計算を進めましょう！
始点の変換方法（分割）
\(\overrightarrow{PQ}=\bigcirc\overrightarrow{Q}-\bigcirc\overrightarrow{P}\)
等式の証明の書き方は以下をチェック
ベクトルの等式の証明（問題）
(1) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{AD}\) を示しなさい。
(2) 次の問いを求めなさい。
(ア) \(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y}=-4\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\) のとき、\(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\) を \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) で表せ。
(イ) \(4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{b}\) を \(\overrightarrow{x}\) を \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) で表せ。
(ウ) \(3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\), \(5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}\) を満たす \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\) を \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) で表せ。
解説
(1) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{AD}\)
ベクトルの含まれた等式は始点を揃えましょう。始点を揃えることによって式が単純になる場合があります。
\(\overrightarrow{PQ}=\bigcirc\overrightarrow{Q}-\bigcirc\overrightarrow{P}\)
(左辺)\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}\)
(右辺)\(=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}\)
(左辺)\(-\)(右辺)\(=0\)
(2)
ベクトルの計算は、文字の計算と同じように扱うことができます。ベクトルの符号を付けるのを忘れないように計算をしてみましょう。
(ア) \(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\)
\(=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}-(-4\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c})\)
\(=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\)
\(=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\)
\(=6\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\)
(イ) \(4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{b}\)
\(=4\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}\)
\(=3\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}\)
\(=\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)
(ウ) \(3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\), \(5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}\)
\(3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\) \(\cdots\) ①
\(5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}\) \(\cdots\) ② とおく。
① \(\times 2-\) ② から \(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
これを ① に代入して \(6\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\)
よって、\(\overrightarrow{y}=-5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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