【ベクトル】『ベクトルの計算』ベクトルの等式の証明とベクトルの演算

2022年6月12日2023年12月28日

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ベクトルの等式の証明

ベクトルを含んだ等式の証明の解き方について解説していきます！

ベクトルの計算をするときに注目する点は、「始点」です。

始点が揃っていればそこまで難しい問題ではございません。以下の公式を用いて視点を揃えた上で計算を進めましょう！

始点の変換方法（分割）

　\(\overrightarrow{PQ}=\bigcirc\overrightarrow{Q}-\bigcirc\overrightarrow{P}\)

等式の証明の書き方は以下をチェック

【式と証明】『等式の証明』証明には型がある！

ベクトルの等式の証明（問題）

(1)　\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{AD}\) を示しなさい。

(2)　次の問いを求めなさい。

(ア)　\(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\),　\(\overrightarrow{y}=-4\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\) のとき、\(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\) を \(\overrightarrow{a}\),　\(\overrightarrow{b}\),　\(\overrightarrow{c}\) で表せ。
(イ)　\(4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{b}\) を \(\overrightarrow{x}\) を \(\overrightarrow{a}\),　\(\overrightarrow{b}\) で表せ。
(ウ)　\(3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\),　\(5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}\) を満たす \(\overrightarrow{x}\),　\(\overrightarrow{y}\) を \(\overrightarrow{a}\),　\(\overrightarrow{b}\) で表せ。

解説

(1)　\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{AD}\)

ベクトルの含まれた等式は始点を揃えましょう。始点を揃えることによって式が単純になる場合があります。

\(\overrightarrow{PQ}=\bigcirc\overrightarrow{Q}-\bigcirc\overrightarrow{P}\)

(左辺)\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}\)
(右辺)\(=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}\)

(左辺)\(-\)(右辺)\(=0\)

(2)

ベクトルの計算は、文字の計算と同じように扱うことができます。ベクトルの符号を付けるのを忘れないように計算をしてみましょう。

(ア)　\(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\)

\(=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}-(-4\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c})\)
\(=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\)
\(=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\)
\(=6\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\)

(イ)　\(4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{b}\)

\(=4\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}\)
\(=3\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}\)
\(=\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)

(ウ)　\(3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\),　\(5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}\)

\(3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\) \(\cdots\) ①
\(5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}\) \(\cdots\) ② とおく。

① \(\times 2-\) ② から　\(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)

これを ① に代入して　\(6\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}\)

よって、\(\overrightarrow{y}=-5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)