【ベクトル】座標とベクトルの成分

ベクトルと平行四辺形

今回はベクトルの成分表示および平行四辺形の頂点に関する問題です！

平行四辺形（問題）

\(3\) 点 \(A(1,\)　\(3)\),　\(B(3,\),　\(-2)\),　\(C(4\),　\(1)\) がある。

(1)　\(\overrightarrow{AB}\),　\(\overrightarrow{BC}\),　\(\overrightarrow{CA}\) の成分と大きさをそれぞれ求めよ。
(2)　四角形 \(ABCD\) が平行四辺形であるとき、点 \(D\) の座標を求めよ。
(3)　(2) の平行四辺形について、\(2\) 本の対角線の長さを求めよ。

解説

(1)　\(\overrightarrow{OA}=(1,\ 3)\),　\(\overrightarrow{OB}=(3,\ -2)\),　\(\overrightarrow{OC}=(4,\ 1)\) と表せるので、

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(3-1,\ -2-3)=(2,\ -5)\)
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(4-3,\ 1+2)=(1,\ 3)\)
\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=(1-4,\ 3-1)=(-3,\ 2)\)

\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{29}\)
\(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
\(|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}\)

(2)　四角形 \(ABCD\) が平行四辺形であるとき、点 \(D\) の座標を求めよ。

ベクトルは、「長さ」と「向き」の性質を持ったものです。平行四辺形の対辺は、その二つの要素が等しいという性質を持っているところがポイントとなります。

四角形 \(ABCD\) は平行四辺形であり、辺 \(AB\) と 辺 \(DC\) は長さが同じで平行なので、\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)

よって、\((2,\ -5)=(4-a,\ 1-b)\)

ゆえに、\(2=4-a\),　\(-5=1-b\)

これを解いて、\(a=2\),　\(b=6\) したがって、\(D(2,\ 6)\)

(3)　(2) の平行四辺形について、\(2\) 本の対角線の長さを求めよ。

\(2\) 本の対角線の長さは \(|\overrightarrow{AC}|\),　\(|\overrightarrow{BD}|\) である。

よって、(1) から \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{13}\)

\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=(2-3,\ 6+2)=(-1,\ 8)\)

\(|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-1)^2+8^2}=\sqrt{65}\)

おわりに