この記事では、
「集合」自体の意味や扱う記号の意味や読み方、使い方
を解説していきます。
集合とは
集合
→属していることがはっきりしているものの集まり。\(A\), \(B\) などの大文字で表す。
要素
→集合に属する \(1\) つ \(1\) つのもの。
\(a \in A\) \(\Longleftrightarrow\) \(a\) は集合 \(A\) の要素である
\(b \notin A\) \(\Longleftrightarrow\) \(b\) は集合 \(A\) の要素でない
集合の表し方
(1) 要素を書き並べて表す。
(2) 要素の満たす条件を述べて表す。
例えば、\(1\) 桁の正の偶数の集合 \(A\) は、
(1) では、
\(A=\{2\), \(4\), \(6\), \(8\}\)
(2) では、
\(A=\{x\) | \(n\) は整数, \(1\leq n\leq 4\}\) など
部分集合
\(A\) は \(B\) の部分集合である
\(\Longleftrightarrow\) \(A \subset B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(x\in A\) ならば \(x\in B\)
\(A\) と \(B\) は等しい
\(\Longleftrightarrow\) \(A=B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\subset B\) かつ \(B\subset A\)
※全く同じ集合ということ
共通部分と和集合
共通部分（交わり）
→ \(A\cap B=\{x\) | \(x\in A\) かつ \(x\in B\}\)
和集合（結び）
→ \(A\cup B=\{x\) | \(x\in A\) または \(x\in B\}\)
全体集合
→ あらかじめ考えているものの全体の集合
空集合
→ 要素を \(1\) つももたない集合。\(\emptyset\) で表す。空集合は、すべての集合の部分集合である。
補集合
補集合
→ 全体集合 \(U\) に属し、\(U\) の部分集合 \(A\) に属さない要素全体の集合。\(\bar{A}\) で表す。
\(\bar{A}=\{x\) | \(x\in U\) かつ \(x\notin A\}\)
とくに、\(A\cap \bar{A}=\emptyset\), \(A\cap \bar{A}=U\)
ド・モルガンの法則
\(\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}\)
図
\(\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}\)
図
集合の要素の個数
集合 \(A\) の要素の個数を \(n(A)\) で表す。
(1) \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)
(2) \(A\cap B=\emptyset\) のとき、\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\)
(3) \(n(\bar{A})=n(U)-n(A)\)
おわりに
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