【集合】『集合の表し方』例題と解説

集合の表し方

集合とは

集合とは、何らかの条件によって明確にグループ分けできる「もの」の集まりのことです。

集合の表し方にはルールがあります。今回は、２パターンの表し方を例題を用いて解説していきます。

集合の表し方

① 要素を書き並べて表す。
\(A=\{2\),　\(4\),　\(6\),　\(8\}\)

② 要素の満たす条件を述べて表す。
\(A=\{2n\) | \(n\) は整数,　\(1\leq n\leq 4\}\)

どちらも同じ集合を表しています。①は要素を並べて表していますが、②は要素 \(n\) の説明を「|」の後にしています。①は \(1\), \(2\), \(3\) \(\cdots\) のように離散的な値に対して有効ですし、② は \(1\leq x \leq 4\) などの連続的な値に対して有効です。

集合の問題

集合の表し方の問題①

\(1\) から \(12\) までの自然数の集合を全体集合 \(U\) とし、その中で、 \(12\) の約数の集合を \(A\), \(8\) の約数の集合を \(B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べて表せ。
(1) \(A\cap B\)
(2) \(\overline{A\cap B}\)
(3) \(\overline{A}\cup\overline{B}\)
(4) \(\overline{\overline{A}\cap B}\)

集合の表し方の問題②

\(-3<x<6\) を満たす整数 \(x\) の集合を全体集合 \(U\) とし、\(U\) の部分集合 \(A\), \(B\) を、
\(A=\{x\) | \(x\) は整数, \(0<x<5\}\)
\(B=\{x\) | \(x\) は整数, \(-2<x\leq 3\}\)
とするとき、次の集合を要素を書き並べて表せ。
(1) \(A\cap B\)
(2) \(A\cup B\)
(3) \(\overline{A}\)
(4) \(\overline{B}\)
(5) \(\overline{A}\cap B\)

集合の問題（解説）

集合の表し方の問題（解説）①

(1) \(A\cap B\)

集合 \(A\) と集合 \(B\) の共通部分

\(A\cap B=\{1,\ 2,\ 4\}\)

(2) \(\overline{A\cap B}\)

集合 \(A\) と集合 \(B\) の共通部分”じゃない”ところ

(1) より \(A\cap B=\{1,\ 2,\ 4\}\)

よって、
\(\overline{A\cap B}=\{3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12\}\)

(3) \(\overline{A}\cup\overline{B}\)
ド・モルガンの法則より
\(\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}\)

(2) と同じになる

\(\overline{A\cap B}=\{3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12\}\)

(4) \(\overline{\overline{A}\cap B}\)
(2) より
\(\overline{A}\cap B=\{8\}\)

よって、
\(\overline{\overline{A}\cap B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12\}\)

集合の表し方の問題（解説）②

(1) \(A\cap B\)

集合 \(A\) と集合 \(B\) の共通部分

\(A\cap B=\{x\) | \(x\) は整数, \(0<x\leq 3\}\)

(2) \(A\cup B\)

集合 \(A\) と集合 \(B\) の和集合

\(A\cup B=\{x\) | \(x\) は整数, \(-2<x<5\}\)

(3) \(\overline{A}\)

集合 \(A\) ではないところ

\(\overline{A}=\{x\) | \(x\) は整数 \(x<0\), \(5<x\}\)

(4) \(\overline{B}\)

集合 \(B\) ではないところ

\(\overline{B}=\{x\) | \(x\) は整数 \(x<-2\), \(3\leq x\}\)

(5) \(\overline{A}\cap B\)

集合 \(A\) でないところと集合 \(B\) の共通部分

\(\overline{A}\cap B=\{x\) | \(x\) は整数 \(-2<x<0\}\)

おわりに