【因数分解】条件付きの因数分解

条件付きの因数分解

今回は、条件付きの因数分解の問題を解説しようと思います。

問題文に「〜のとき」や「〜を利用して」などの条件があったら要注目です！条件があるということは、「それを使えば楽に解けるよ」というメッセージです。そのメッセージをいかにうまく受け止められるかがポイントになります！

条件付きの因数分解（問題）

(1) \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を利用して、\(a^3+b^3+c^3-3abc\) を因数分解しなさい。

(2) (1) の結果を利用して、次の式を因数分解しなさい。

(ア)　\(x^3+y^3+3xy-1\)
(イ)　\((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3\)

条件付きの因数分解（解説）

(1) \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) を利用して、\(a^3+b^3+c^3-3abc\) を因数分解しなさい。

【\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) の捉え方】
\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\)
\(\Longrightarrow\) \(\spadesuit^3+\clubsuit^3=(\spadesuit+\clubsuit)^3-3\spadesuit\cdot\clubsuit(\spadesuit+\clubsuit)\)
\(a\) と \(b\) を使った式として見るのではなく\(a\) と \(b\) じゃなくても使えるように柔軟に捉えておく。

\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) より

　\(a^3+b^3\)\(+c^3-3abc\)
\(=\)\((a+b)^3-3ab(a+b)\) \(+c^3-3abc\)
\(=\)\((a+b)^3+c^3\)\(-3ab(a+b)-3abc\)

\(a+b=A\) とおくと、

\(=\)\(A^3+c^3\)\(-3abA-3abc\)
\(=\)\((A+c)^3-3Ac(A+c)\)\(-3abA-3abc\)
\(=\)\((A+c)^3-3Ac(A+c)\)\(-3ab(A+c)\)
\(=\)\((A+c)\{(A+c)^2-3Ac-3ab\}\)
\(=\)\((A+c)(A^2+2Ac+c^2-3Ac-3ab)\)

\(A\) に \(a+b\) を戻す。

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(2) (1) の結果を利用して、次の式を因数分解しなさい。

(1) の以下の結果を用いる。
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\)\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)

(ア)　\(x^3+y^3+3xy-1\)

上記の結果の \(a\) に \(x\) を \(b\) に \(y\) を \(c\) に \(-1\) を当てはめて考える

　\(x^3+y^3-1+3xy\)
\(=x^3+y^3+(-1)^3-3xy\cdot (-1)\)

(1) より

\(=(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)\)

(イ)　\((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3\)

\(x-y=A\), \(y-z=B\), \(z-x=C\) とおくと、

上記の結果の \(a\) に \(A\) を \(b\) に \(B\) を \(c\) に \(C\) を当てはめて考える

\(=0+3ABC\)
\(=3(x-y)(y-z)(z-x)\)

おわりに