包括関係の証明
部分集合
\(A\) は \(B\) の部分集合である
\(\Longleftrightarrow\) \(A \subset B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(x\in A\) ならば \(x\in B\)
集合の相等
\(A\) と \(B\) は等しい
\(\Longleftrightarrow\) \(A=B\)
\(\Longleftrightarrow\) \(A\subset B\) かつ \(B\subset A\)
※全く同じ集合ということ
包括関係の問題
\(Z\) を整数全体の集合とするとき、次の集合 \(A\), \(B\) において、\(A\subset B\) かつ \(A\neq B\) であることを証明しなさい。
(1) \(A=\{4n-1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
(2) \(A=\{4n+1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
解説
① \(A\subset B\)
② \(B\not\subset A\)
※②に関しては、\(B\subset A\) にならない例を \(1\) つ見つければ良い。
(1) \(A=\{4n-1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
任意の \(a\in A\) に対して、
\(a=4n-1\) とかける。
\(a=4n-1=2\cdot 2n-1\)
\(2n\in Z\) より
\(a\in B\) となるので、\(A\subset B\)
また、\(5\in B\) だが \(5\notin A\) となるので、\(B\not\subset A\)
よって、\(A\subset B\) であるが、\(A\neq B\) である。
(2) \(A=\{4n+1\) | \(n\in Z\}\), \(B=\{2n-1\) | \(n\in Z\}\)
任意の \(a\in A\) に対して、
\(a=4n+1\) とかける。
\(a=4n+1=2(2n+1)-1\)
\(2n+1\in Z\) より
\(a\in B\) となるので、\(A\subset B\)
また、\(7\in B\) だが \(7\notin A\) となるので、 \(B\not\subset A\)
よって、\(A\subset B\) であるが、\(A\neq B\) である。
おわりに
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