【三角比】『余角・補角の公式』例題と解説

余角・補角の公式

余角の公式
\(\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta\)
\(\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta\)
\(\tan(90^{\circ}-\theta)=\displaystyle\frac{1}{\tan\theta}\)

補角の公式
\(\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta\)
\(\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta\)
\(\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta\)

余角・補角の問題

次の問いに答えよ。

(1) \(\sin(90^{\circ}-\theta)-\sin(180^{\circ}-\theta)+\cos(90^{\circ}-\theta)+\cos(180^{\circ}-\theta)\)

(2)
(ア) \(\sin70^{\circ}\), \(\cos110^{\circ}\) を\(45^{\circ}\) 以下の三角比で表せ。
(イ) \(\sin20^{\circ}\cos110^{\circ}+\sin70^{\circ}\cos160^{\circ}\) を簡単にせよ。

解説

(1) \(\sin(90^{\circ}-\theta)-\sin(180^{\circ}-\theta)+\cos(90^{\circ}-\theta)+\cos(180^{\circ}-\theta)\)

余角・補角の公式より
\(\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta\)
\(\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta\)
\(\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta\)
\(\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta\)

\(=\cos\theta-\sin\theta+\sin\theta-\cos\theta\)
\(=0\)

(2)
(ア) \(\sin70^{\circ}\), \(\cos110^{\circ}\) を\(45^{\circ}\) 以下の三角比で表せ。

\(\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta\) より

\(\sin70^{\circ}\)
\(=\sin(90^{\circ}-20^{\circ})=\cos20^{\circ}\)

\(\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta\) より

\(\cos110^{\circ}\)
\(=\cos(180^{\circ}-70^{\circ})=-\cos70^{\circ}\)

(イ) \(\sin20^{\circ}\cos110^{\circ}+\sin70^{\circ}\cos160^{\circ}\) を簡単にせよ。

角度がバラバラなので、余角・補角の公式を用いて揃えます。

余角・補角の公式より
\(\cos110^{\circ}=\cos(180^{\circ}-70^{\circ})=-\cos70^{\circ}\)
\(\sin70^{\circ}=\sin(90^{\circ}-20^{\circ})=\cos20^{\circ}\)
\(\cos160^{\circ}=\cos(180^{\circ}-20^{\circ})=-\cos20^{\circ}\)

\(=-\sin20^{\circ}\cos70^{\circ}-\cos20^{\circ}\cos20^{\circ}\)

\(\cos70^{\circ}=\cos(90^{\circ}-20^{\circ})=\sin20^{\circ}\) より

\(=-\sin20^{\circ}\sin20^{\circ}-\cos20^{\circ}\cos20^{\circ}\)
\(=-(\sin^2 20^{\circ}+\cos^2 20^{\circ})\)

三角比の相互関係より
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

\(=-1\)

おわりに