2次方程式の2解の対称式の値
今回は二次方程式の2つの解の関係を使った問題を扱います！
2つの解を \(\alpha\) と \(\beta\) と置き、その和や積の関係を考えていきます。
二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の \(2\) 解を \(\alpha\), \(\beta\) とおくと、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\), \(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
詳しくはこちらを要確認！
（証明）
二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解が \(\alpha\), \(\beta\) より
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
とかける。
\(ax^2+bx+c=a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}\)
両辺を \(a\) で割ると、
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)
よって、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\), \(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
2数を解とする 2 次方程式
\(2\) 数 \(\alpha\), \(\beta\) に対して、\(\alpha+\beta=p\), \(\alpha\beta=q\) とすると、\(\alpha\) と \(\beta\) を解とする \(2\) 次方程式の \(1\) つは、
\(x^2+px+q=0\)
となる。
（証明）
\(\alpha\), \(\beta\) を解とする二次方程式は、\((x-\alpha)(x-\beta)=0\) とかける。
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
よって、
\(x^2-px+q=0\)
対称式の例題
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例題
\(2\) 次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha\), \(\beta\) とする。次の式の値を求めよ。
(1) \((\alpha+1)(\beta+1)\)
(2) \(\alpha^2+\beta^2\)
(3) \(\alpha^3+\beta^3\)
解説
\(\alpha+\beta=2\), \(\alpha\beta=3\) \(\cdots\) (A)
(1) \((\alpha+1)(\beta+1)\)
\(=\alpha\beta+\alpha+\beta+1\)
(A) より
\(=3+2+1=6\)
(2) \(\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=2^2-2\cdot 3=-2\)
(3) \(\alpha^3+\beta^3\)
\(=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(=2^3-3\cdot 3\cdot 2=-10\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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