2次方程式の2解の対称式の値
今回は二次方程式の2つの解の関係を使った問題を扱います！
2つの解を \(\alpha\) と \(\beta\) と置き、その和や積の関係を考えていきます。
二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の \(2\) 解を \(\alpha\), \(\beta\) とおくと、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\), \(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
詳しくはこちらを要確認！
（証明）
二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解が \(\alpha\), \(\beta\) より
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\)
とかける。
\(ax^2+bx+c=a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}\)
両辺を \(a\) で割ると、
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)
よって、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\), \(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
2数を解とする 2 次方程式
\(2\) 数 \(\alpha\), \(\beta\) に対して、\(\alpha+\beta=p\), \(\alpha\beta=q\) とすると、\(\alpha\) と \(\beta\) を解とする \(2\) 次方程式の \(1\) つは、
\(x^2+px+q=0\)
となる。
（証明）
\(\alpha\), \(\beta\) を解とする二次方程式は、\((x-\alpha)(x-\beta)=0\) とかける。
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
よって、
\(x^2-px+q=0\)
対称式の例題
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例題
\(2\) 次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha\), \(\beta\) とする。次の式の値を求めよ。
(1) \((\alpha+1)(\beta+1)\)
(2) \(\alpha^2+\beta^2\)
(3) \(\alpha^3+\beta^3\)
解説
\(\alpha+\beta=2\), \(\alpha\beta=3\) \(\cdots\) (A)
(1) \((\alpha+1)(\beta+1)\)
\(=\alpha\beta+\alpha+\beta+1\)
(A) より
\(=3+2+1=6\)
(2) \(\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=2^2-2\cdot 3=-2\)
(3) \(\alpha^3+\beta^3\)
\(=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(=2^3-3\cdot 3\cdot 2=-10\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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