解と係数の関係
\(ax^2+bx+c=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha\), \(\beta\) とおくと、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
（解説）
\(ax^2+bx+c=0\) の解が \(\alpha\), \(\beta\) より
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\) と表せる。両辺を \(a\) で割ると、
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\)
\(=(x-\alpha)(x-\beta)\)
\(=x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta\)
よって、
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta\)
したがって、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
解と係数の関係（例題）
\(2\) 次方程式 \(x^2-6x+k=0\) について、次の条件を満たすように、定数 \(k\) の値を定めよ。
(1) \(1\) つの解が他の解の \(2\) 倍
(2) \(1\) つの解が他の解の \(2\) 乗
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解説
(1)
\(1\) つの解を \(\alpha\)とおくと、\(2\alpha\) とおける。
解と係数の関係より
\(\alpha+2\alpha=6\) \(\cdots\) ①
\(\alpha\cdot 2\alpha=k\) \(\cdots\) ②
① より
\(3\alpha=6\)
\(\alpha=2\)
② に代入すると、
\(2\alpha^2=k\)
\(2\cdot 2^2=k\) ※①より
\(k=8\)
(2)
\(1\) つの解を \(\alpha\)とおくと、\(\alpha^2\) とおける。
解と係数の関係より
\(\alpha+\alpha^2=6\) \(\cdots\) ①
\(\alpha\cdot \alpha^2=k\) \(\cdots\) ②
① より
\(\alpha^2+\alpha-6=0\)
\((\alpha+3)(\alpha-2)=0\)
\(\alpha=-3\), \(2\)
② に代入すると、
\(k=\alpha^3\)
\(k=-27\), \(8\) ※①より
おわりに
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