解と係数の関係
\(ax^2+bx+c=0\) の \(2\) つの解を \(\alpha\), \(\beta\) とおくと、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
（解説）
\(ax^2+bx+c=0\) の解が \(\alpha\), \(\beta\) より
\(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\) と表せる。両辺を \(a\) で割ると、
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\)
\(=(x-\alpha)(x-\beta)\)
\(=x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta\)
よって、
\(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(\alpha+\beta)+\alpha\beta\)
したがって、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
解と係数の関係（例題）
\(2\) 次方程式 \(x^2-6x+k=0\) について、次の条件を満たすように、定数 \(k\) の値を定めよ。
(1) \(1\) つの解が他の解の \(2\) 倍
(2) \(1\) つの解が他の解の \(2\) 乗
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解と係数の関係（解説）
(1)
\(1\) つの解を \(\alpha\)とおくと、\(2\alpha\) とおける。
解と係数の関係より
\(\alpha+2\alpha=6\) \(\cdots\) ①
\(\alpha\cdot 2\alpha=k\) \(\cdots\) ②
① より
\(3\alpha=6\)
\(\alpha=2\)
② に代入すると、
\(2\alpha^2=k\)
\(2\cdot 2^2=k\) ※①より
\(k=8\)
(2)
\(1\) つの解を \(\alpha\)とおくと、\(\alpha^2\) とおける。
解と係数の関係より
\(\alpha+\alpha^2=6\) \(\cdots\) ①
\(\alpha\cdot \alpha^2=k\) \(\cdots\) ②
① より
\(\alpha^2+\alpha-6=0\)
\((\alpha+3)(\alpha-2)=0\)
\(\alpha=-3\), \(2\)
② に代入すると、
\(k=\alpha^3\)
\(k=-27\), \(8\) ※①より
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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