接線の方程式/法線の方程式
接線の方程式
\(y=f(x)\) 上の点 \((a\), \(f(a))\) における接線の方程式は、
\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
法線の方程式
\(y=f(x)\) 上の点 \((a\), \(f(a))\) における法線の方程式は、
\(y-f(a)=-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}(x-a)\)
〈考え方〉
図のように、接線に垂直な直線が法線です。
\(2\) つの直線が垂直なとき、傾きをそれぞれ \(m\), \(n\) とおくと、
\(m\times n=-1\)
となる。
以上のことを踏まえると、
接線の傾きが \(f'(a)\) となるとき、法線の傾きは、\(-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}\) と書ける。
※ \(f'(a)\times\left(-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}\right)=-1\)
法線の方程式（問題）
曲線 \(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\) について、次のものを求めよ。
(1) 曲線上の点 \(\big(2\), \(-\displaystyle\frac{14}{9}\big)\) における法線の方程式
(2) (1) で求めた法線と曲線の共有点のうち、点 \(\big(2\), \(-\displaystyle\frac{14}{9}\big)\) 以外の点の座標
解説
\(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\)
\(y’=\displaystyle\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{3}\) \(\cdots\) (A)
(1)
\(x=2\) における接線の傾きは、
\(x=2\) を (A) に代入すると、\(y’=1\)
法線の傾きを \(m\) とおくと、
\(m\times 1=-1\)
\(m=-1\)
よって、
\(y+\displaystyle\frac{14}{9}=(-1)\cdot (x-2)\)
\(y=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\)
(2)
\(y=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\) \(\cdots\) ①
\(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\) \(\cdots\) ②
\(\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\)
\(2x^3-15x=-9x+4\)
\(2x^3-6x-4=0\)
\(x^3-3x-2=0\)
\(f(x)=x^3-3x-2\) とおくと、\(f(-1)=0\) より
\((x+1)(x^2-x-2)=0\)
\((x+1)^2(x-2)=0\)
よって、求める点の \(x\) 座標は、\(x=-1\) であり、求める共有点の座標は、
\(\big(-1\), \(\displaystyle\frac{13}{9}\big)\)
おわりに
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