合同式とは、割り算の余りが等しいことを示した等式のことです。
合同式
合同式とは
合同式とは、割り算の余りが等しいことを示した等式のことです。
例えば、「\(9\) を \(4\) で割った余り」と「\(5\) を \(4\) 割った余り」は、
\(9\div 4=2\cdots 1\)
\(5\div 4=1\cdots 1\)
となり等しいので、
\(9\equiv 5\) (mod \(4\))
と書くことができて、読み方は「\(9\) 合同 \(5\) モッド \(4\)」となります。
これを一般的に書くと、\(a\) と \(b\) を \(n\) で割った余りが等しい時、
\(a\equiv b\) (mod \(n\))
と表すことができます。
「\(a\) と \(b\) を \(n\) で割った余りが等しいとき」という条件は、「\(a-b\) が \(n\) の倍数のとき」と言い換えることができます。
合同式の性質
\(a\equiv b\) (mod m), \(c\equiv d\) (mod m) のとき、次のことが成り立つ。
① \(a+c\equiv b+d\) (mod \(m\))
② \(a-c\equiv b-d\) (mod \(m\))
③ \(ac\equiv bd\) (mod \(m\))
④ 自然数 \(n\) に対し \(a^n\equiv b^n\) (mod \(m\))
① 合同式の和について
例えば、 mod \(3\) では
\(11\equiv 5\), \(5\equiv 2\) なので、辺々を足し算して
\(16\equiv 7\)
が成立します。
② 合同式の差について
例えば、 mod \(3\) では
\(11\equiv 5\), \(5\equiv 2\) なので、辺々を引き算して
\(6\equiv 3\)
が成立します。
③ 合同式の積について
例えば、 mod \(3\) では
\(11\equiv 5\), \(5\equiv 2\) なので、辺々を掛け算して
\(55\equiv 10\)
が成立します。
④ 合同式のべき乗について
例えば、 mod \(3\) では
\(11\equiv 5\) なので、辺々を \(2\) すると
\(121\equiv 25\)
が成立します。
合同式の問題
\(13^{100}\) を \(9\) で割った余を求めなさい。
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合同式の問題の解説
\(13^{100}\div 9=\) (商) \(\cdots\) (余り)
\(13^{100}=9\times\) (商) \(+\) (余り)
\(13^{100}-\) (余り) \(=9\times\) (商)
よって、
\(13^{100}\equiv\) (余り) (mod \(9\))
この形を目標にする。
「\(13^{100}\)」のままだと太刀打ちできないので、「\(13\)」という数字を使って合同式を作ってみる。
\(13\equiv4\) (mod \(9\))
公式より、
\(13^{100}\equiv 4^{100}\) (mod \(9\)) \(\cdots\) ①
ここで、
\(4^3\equiv 1\) (mod \(9\))
なので、
\((4^3)^{33}\equiv 1\) (mod \(9\))
\((4^3)^{33}\cdot 4\equiv 4\) (mod \(9\))
\(4^{100}\equiv 4\) (mod \(9\)) \(\cdots\) ②
①, ② より
\(13^{100}\equiv 4^{100}\equiv 4\) (mod \(9\))
したがって、
\(13^{100}\equiv 4\) (mod \(9\))
となり、余りは \(4\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
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