\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\)
\(\cos\alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\)
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\)
\(\sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}\)
\(\sin A+\sin B=2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\sin A-\sin B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A+\cos B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A-\cos B=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
「公式を覚える」とは、聞かれた時に思考を挟まずに反射的に答えられることを言う。
by Math kit運営 yu-to
三角関数の和と積の公式の証明
積和の公式の証明
加法定理より
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\) \(\cdots\) ①
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\) \(\cdots\) ②
①＋②より
\(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\)
\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \(( i )\)
また、①ー②より
\(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos\alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((ii)\)
次に加法定理より
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\) \(\cdots\) ③
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\) \(\cdots\) ④
③＋④
\(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\)
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iii)\)
また、③ー④
\(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta\)
\(\sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iv)\)
和積の公式の証明
\(\alpha+\beta=A\), \(\alpha-\beta=B\) とおくと
\(\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}\), \(\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}\) \(\cdots\) ⑤
⑤ を \((i)\) に代入すると、
\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \(( i )\)
\(\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin A+\sin B)\)
\(=\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
⑤ を \((ii)\) に代入すると、
\(\cos\alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((ii)\)
\(\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin A-\sin B)\)
\(=\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
⑤ を \((iii)\) に代入すると、
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iii)\)
\(\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos A+\cos B)\)
\(=\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
⑤ を \(iv\) に代入すると、
\(\sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iv)\)
\(\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}(\cos A-\cos B)\)
\(=\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
和と積の公式の問題
積和の公式、和積の公式を用いて、次の値を求めよ。
(1) \(\sin 75^{\circ}\cos 15^{\circ}\)
(2) \(\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}\)
(3) \(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}\)
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（解説）
(1) \(\sin 75^{\circ}\cos 15^{\circ}\)
\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\) より
\(\sin 75^{\circ}\cos 15^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin 90^{\circ}+\sin 60^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(1+\frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(=\displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)
(2) \(\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}\)
\(\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\) より
\(\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
(3) \(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}\) \(\cdots\) ①
\(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\) について
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) より
\(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ}+\cos 20^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\cos 20^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ}\) \(\cdots\) \(A\)
\(A\) を ① に代入すると、
\(\big(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ}\big)\) \(\cos 80^{\circ}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ}\cos 80^{\circ}\) \(\cdots\) ②
次に、
\(\cos 20^{\circ}\cos 80^{\circ}\) について
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) より
\(\cos 20^{\circ}\cos 80^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 100^{\circ}+\cos 60^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 100^{\circ}+\frac{1}{2})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 100^{\circ}\) \(\cdots\) \(B\)
\(B\) を② に代入すると、
\(\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\) \(\displaystyle\frac{1}{2}\big(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 100^{\circ}\big)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\cos 100^{\circ}\) \(\cdots\) ③
\(\cos 100^{\circ}\) について
\(\cos 100^{\circ}=\cos (180^{\circ}-80^{\circ})\)
\(=\cos 180^{\circ}\cos 80^{\circ}+\sin 180^{\circ}\sin 80^{\circ}\)
\(=-\cos 80^{\circ}\) \(\cdots\) \(C\)
\(C\) を ③ に代入すると、
\(\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\) \((-\cos 80^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{8}\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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