\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\)
\(\cos\alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\)
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\)
\(\sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}\)
\(\sin A+\sin B=2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\sin A-\sin B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A+\cos B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A-\cos B=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
「公式を覚える」とは、聞かれた時に思考を挟まずに反射的に答えられることを言う。
by Math kit運営 yu-to
三角関数の和と積の公式の証明
積和の公式の証明
加法定理より
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\) \(\cdots\) ①
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\) \(\cdots\) ②
①＋②より
\(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\)
\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \(( i )\)
また、①ー②より
\(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos\alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((ii)\)
次に加法定理より
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\) \(\cdots\) ③
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\) \(\cdots\) ④
③＋④
\(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\)
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iii)\)
また、③ー④
\(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta\)
\(\sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iv)\)
和積の公式の証明
\(\alpha+\beta=A\), \(\alpha-\beta=B\) とおくと
\(\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}\), \(\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}\) \(\cdots\) ⑤
⑤ を \((i)\) に代入すると、
\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \(( i )\)
\(\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin A+\sin B)\)
\(=\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
⑤ を \((ii)\) に代入すると、
\(\cos\alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((ii)\)
\(\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin A-\sin B)\)
\(=\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
⑤ を \((iii)\) に代入すると、
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iii)\)
\(\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos A+\cos B)\)
\(=\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
⑤ を \(iv\) に代入すると、
\(\sin\alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}\) \(\cdots\) \((iv)\)
\(\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}(\cos A-\cos B)\)
\(=\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
和と積の公式の問題
積和の公式、和積の公式を用いて、次の値を求めよ。
(1) \(\sin 75^{\circ}\cos 15^{\circ}\)
(2) \(\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}\)
(3) \(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}\)
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（解説）
(1) \(\sin 75^{\circ}\cos 15^{\circ}\)
\(\sin\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}\) より
\(\sin 75^{\circ}\cos 15^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin 90^{\circ}+\sin 60^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(1+\frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(=\displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)
(2) \(\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}\)
\(\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\) より
\(\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
(3) \(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}\) \(\cdots\) ①
\(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\) について
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) より
\(\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ}+\cos 20^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\cos 20^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ}\) \(\cdots\) \(A\)
\(A\) を ① に代入すると、
\(\big(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ}\big)\) \(\cos 80^{\circ}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\frac{1}{2}\cos 20^{\circ}\cos 80^{\circ}\) \(\cdots\) ②
次に、
\(\cos 20^{\circ}\cos 80^{\circ}\) について
\(\cos\alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}\) より
\(\cos 20^{\circ}\cos 80^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 100^{\circ}+\cos 60^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 100^{\circ}+\frac{1}{2})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 100^{\circ}\) \(\cdots\) \(B\)
\(B\) を② に代入すると、
\(\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\) \(\displaystyle\frac{1}{2}\big(\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 100^{\circ}\big)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\cos 100^{\circ}\) \(\cdots\) ③
\(\cos 100^{\circ}\) について
\(\cos 100^{\circ}=\cos (180^{\circ}-80^{\circ})\)
\(=\cos 180^{\circ}\cos 80^{\circ}+\sin 180^{\circ}\sin 80^{\circ}\)
\(=-\cos 80^{\circ}\) \(\cdots\) \(C\)
\(C\) を ③ に代入すると、
\(\displaystyle\frac{1}{4}\cos 80^{\circ}+\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\) \((-\cos 80^{\circ})\)
\(=\displaystyle\frac{1}{8}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
- 大学受験数学で困っている方
- 公務員試験の数学で困っている方
- 統計学（統計検定）の勉強で困っている方
個人家庭教師やってるので、ぜひコメントやXでご連絡ください。（Xはこちら）
私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
ご連絡お待ちしております。
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