【微分】『微分するとは？』教科書よりわかりやすい微分の説明

2021年8月8日2023年10月1日

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「微分する」とは、「変化具合を求めること」

変化具合とは、\(x\) が \(1\) ずつ増えていく時に \(y\) がどのように増えるのか？ということです。

※　いろいろな解釈がありますが、本記事では上のように解釈して進めていきます。

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微分するとは？

「微分」という言葉は単品で使用されることはあまりありません。主に、「微分する」という言葉で表されます。

微分については、高校2年生、早いところでは高校1年生で学習します。教科書の説明だけではなかなか理解ができなかった方は多いのではないでしょうか？今回は、教科書よりわかりやすく解説しています。ぜひ見てみてください。

導関数と微分係数

導関数
\(y=f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) は、
　\(f'(x)=\displaystyle\lim_{x \to h} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
導関数の \(x\)（変数）に何かしらの値（定数）を入れると微分係数が得られます。

微分係数
\(y=f(x)\) 上の \(x=a\) における微分係数 \(f'(a)\) は、
　\(f'(a)=\displaystyle\lim_{b \to a} \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

「\(x=a\) における微分係数を求める。」というのは、「\(x=a\) における接線の傾きを求める。」ことと同じです。このことについて以下で解説しています。

「微分する」とは

定義を見て多くの人が、「微分は諦めよう」と思ったのではないでしょうか…？

今回は、この公式を紐解いていきたいと思います。そのためにまず「微分する」を簡単な言葉で言い換えたいと思います。

「微分する」とは、「変化具合を求めること」

変化具合とは、\(x\) が \(1\) ずつ増えていく時に \(y\) がどのように増えるのか？ということです。

例）
\(y=2x\) なら \(y\) は \(2\) ずつ増えます。
\(y=3\) なら \(y\) は全く増えません。

では、\(y=x^2\) はどうなるでしょうか？というのが、今回の論点になります。ではここから、グラフを見ながら具体的に見ていきましょう。

グラフにより変化具合を見てみる

グラフによって変化具合が一定だったり一定でなかったりします。

では見ていきましょう。

変化具合が一定の場合

①　\(y=3\) の変化具合

\(y=3\) のグラフと表を見てみると、変化は全くしていないことがわかります。よって、変化具合は、\(0\) です。

②　\(y=2x\) の変化具合

\(y=2x\) のグラフと表を見てみると、\(y\) が \(2\) ずつ増えていることがわかる。

よって、変化具合は、\(2\) です。

変化具合が一定ではない場合

③　\(y=x^2\) の変化具合

\(y=x^2\) のグラフと表を見てみると、

　\(x=1\) から \(x=2\) のとき、\(y\) の変化は \(3\)
　\(x=2\) から \(x=3\) のとき、\(y\) の変化は \(5\)
　\(x=3\) から \(x=4\) のとき、\(y\) の変化は \(7\)

このように場所によって変化具合が異なることがわかります。そのため、曲線の場合、別の方法での定義が必要です。

ここまでの変化具合を表したグラフの中でも \(y=2x\) で表された変化具合が重要です。

【\(y=2x\) の変化具合について】

\(y\) が \(2\) ずつ増えているので、変化具合は \(2\) です。直線の場合の変化具合は、傾きと一致します。つまり直線の場合は、傾きを見れば変化具合がわかるということです。

曲線の変化具合を考える

曲線 \(f(x)\) の変化具合を調べるために、\(2\) 点間の直線の傾きから考えていきます。

2点間の直線の傾き

点 \(a\),　点\(b\) を通る直線の傾きは、

\((傾き)=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

ここで、\(b\) を \(a\) に近づけていきます。

近づけても、\(2\) 点間の直線の傾きであることには変わりない。

\((傾き)=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

さらに、\(b\) を \(a\) に限りなく近づけていきます。

”ほぼ”1 点に接する直線の傾き

限りなく近づけても、\(2\) 点間の直線の傾きであることには変わりがありません。

\((傾き)=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

しかし、これだと「限りなく」という意味合いが反映されていません。そこで、 \(b\) を \(a\) に限りなく近づけたことを表した式が、

　\((傾き)=\displaystyle\lim_{b \to a} \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

つまり、「\(x=a\) における微分係数を求める」というのは、「\(x=a\)（接点）に接する直線（接線）の傾き」を求めることと同じであることがわかります。

この式は、

\(y=f(x)\) 上の \(x=a\) における接線の傾きを表しており、
　\(f'(a)\)\(=\displaystyle\lim_{b \to a} \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
のように表します。

また、\(b-a=h\) と置き、\(b=a+h\) より

　\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

と表す場合もあります。

微分の計算

「微分する」とは、「変化の具合を表すこと」であり、グラフ上の変化の具合は、「グラフ上の接点における接線の傾き」によって表されます。

そして、その値は、

\(y=f(x)\) 上の \(x=a\) における接線の傾き \(f'(a)\) は、

　\(f'(a)=\displaystyle\lim_{b \to a} \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

この公式により求められることがわかりました。

「微分の計算」の例題

例題）\(f(x)=x^2\) 上の \(x=2\) における変化具合（接線の傾き）を計算せよ。

【微分の定義を活用する】

\(f'(2)=\displaystyle\lim_{b \to 2} \displaystyle\frac{f(b)-f(2)}{b-2}\)

\(f(x)=x^2\) より \(f(b)=b^2\),　\(f(2)=4\) なので、

　\(=\displaystyle\lim_{b \to 2} \displaystyle\frac{b^2-4}{b-2}\)
　\(=\displaystyle\lim_{b \to 2} \displaystyle\frac{(b+2)(b-2)}{b-2}\)
　\(=\displaystyle\lim_{b \to 2} (b+2)=4\)

【公式を活用する】

\(f(x)=x^k\)
\(f'(x)=kx^{k-1}\)

よって、

\(f(x)=x^2\) 上の \(x=2\) における接線の傾きは、
\(f'(x)=2x\)
\(f'(2)=4\)

問題文に、「定義を用いて」と書かれていない場合は、この公式を使うのが一般的です。