比例式が条件になっている等式の証明
今回は等式の証明の中で、比例式が条件として設定されている問題を紹介します！
比例式とは、 \(a:b=c:d\) のように、比がイコールでつながれている式を指します。
また、 \(a:b\) について、 \(\displaystyle \frac{a}{b}\)のように表した値のことを比の値と言いますが、比の値が等しい式が条件式に設定されている問題が、今回紹介するものです。
つまり、 \(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}\) のような式のことです。
では、実際に問題を一緒に見ていきましょう。
比例式が条件になっている等式の証明（問題）
\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}\) のとき、次の等式を証明しなさい。
\(\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}=\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}\)
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答案の例
\(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}=k\) とおくと、\(a=bk\) 、\(c=dk\)となる。
よって、左辺の計算は、
\(\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}=\displaystyle \frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2k^2-d^2k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}\)
また、右辺の計算は、
\(\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}=\displaystyle \frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2k^2-d^2k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}\)
したがって、 \(\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}=\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}\)
解説
この手の問題は、例えば \(\displaystyle \frac{a}{b}=\displaystyle \frac{c}{d}\) であれば、\(a=\displaystyle \frac{bc}{d}\) のようにして、\(a\) に代入するという方法がとれます。
しかしそれでは、条件式も示すべき等式も、分数が含まれてしまうため、計算が複雑になってしまいます。
そこで、 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) も \(\displaystyle \frac{c}{d}\) もイコールでつながれている（何かしらの同じ値をとっている）のであれば、これらを例えば \(k\) という値になるとして、考えてみるのです。
つまり、\(\displaystyle \frac{a}{b}=k\)、 \(\displaystyle \frac{c}{d}=k\) ということです。
一般的に、分母は \(0\) ではないということが明記されていますが、このような問題では、書かれていなくても分母は \(0\) ではないとします。さらに、 \(k\) に関しても、 \(0\) ではないものとして、扱っていきます。
文字が増えることで、さらに解きにくくなったように錯覚しますが、この方法のメリットは、代入する条件式が分数にならないので、\(a=\displaystyle \frac{bc}{d}\) を代入することに比べると、計算が楽になっているということです。
これらの式は、変形すると、
\(a=bk\)、 \(c=dk\)
となり、\(\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}=\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}\)に代入すると、 \(a\) と \(c\) が削除できます。
実際に代入してみると、左辺の計算は、
\(\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}=\displaystyle \frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2k^2-d^2k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}\)
同様に、右辺の計算も行うと、
\(\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}=\displaystyle \frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2k^2-d^2k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}\)
\(=\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}\)
これにより、左辺と右辺が等しくなったので、もとの等式は証明できたということになります。
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学に関して順風満帆に理解できてきたわけではありませんでした。
周りを見渡せば数学の天才がゴロゴロいて、そんな人たちに比べれば私は足元にも及びませんでした。
だからこそ、わからない、理解できない方の気持ちを少しはわかってあげられると自負しております。
数学に困っている方の一助になれれば幸いです。
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