【対数関数】最大・最小

対数関数の最大値・最小値

今回は対数関数の最大値・最小値の求め方についてです！

対数が含まれている場合の計算手順は、

① 対数を整理（底を揃える）
② 対数部分を文字に置き換える
③ 二次関数として解いていく

となります。

まずは必要な公式をチェックしていきましょう！

対数関数の底の変換公式

底が違うと計算も出来ないですし、文字に変換することもできません。

↓底の変換公式が不安な方は、こちらをチェック

対数のその他の公式

これらの公式も、対数の方程式を整理するために使用します。

ではここから例題を解いてみましょう！

対数関数の最大値・最小値の問題

\(1\leq x\leq 8\) のとき、関数 \(y=(\log_2 x)^2+8\log_{\frac{1}{4}} 2x+\log_2 32\) の最大値と最小値を求めよ。

解説

底が異なると対数部分を文字に置き換えることができないため、底の変換公式を用います。

\(8\log_{\frac{1}{4}} 2x\) の底を \(2\) にする。

\(8\log_{\frac{1}{4}} 2x=8\cdot \displaystyle\frac{\log_2 2x}{\log_2  \displaystyle\frac{1}{4}}\)

右辺の分子と分母に公式②と公式③、それぞれを使用する。

\(8\log_{\frac{1}{4}} 2x=8\cdot \displaystyle\frac{\log_2 2+\log_2 x}{\log_2 1-\log_2 4}\)

\(\log_2 2=1\),　\(\log_2 1=0\),　\(\log_2 4\) より

　\(=8\cdot \displaystyle\frac{1+\log_2 x}{0-2}\)

　\(=8\cdot \displaystyle\frac{1+\log_2 x}{-2}\)

　\(=-4\times (1+\log_2 x)\)

よって、

（与式）\(=(\log_2 x)^2+\) \(8\log_{\frac{1}{4}} 2x\) \(+\log_2 32\)

　\(=(\log_2 x)^2\) \(-4\times (1+\log_2 x)\) \(+\log_2 32\)

　\(=(\log_2 x)^2-4-4\log_2 x+5\)

　\(=(\log_2 x)^2-4\log_2 x+1\)

\(\log_2 x=t\) とおくと、式と定義域が変わります。

\(\log_2 x=t\) のグラフを描いてみます。

\(1\leq x\leq 8\) なので、グラフより \(0\leq t\leq 3\) となる。

よって、ここからは、

　\(y=t^2-4t+1\) \((0\leq t \leq 3)\) の最大値・最小値を求めます。

　\(=(t-2)^2-4+1\)

　\(=(t-2)^2-3\)

頂点 \((2\),　\(-3)\)

グラフより、

\(t=2\) のとき最小値 \(-3\)
\(t=0\) のとき最大値 \(1\)

\(t=2\) より \(\log_2 x=t\) なので、

\(\log_2 x=2\)
\(\log_2 x=\log_2 4\)
　\(x=4\)

\(t=0\) より \(\log_2 x=t\) なので、

\(\log_2 x=0\)
\(\log_2 x=\log_2 1\)
　\(x=1\)

よって、

\(x=4\) のとき最小値 \(-3\)
\(x=1\) のとき最大値 \(1\)

おわりに

今回は対数関数の最大値・最小値の求め方についてでした！