【三角関数】『三角方程式』解法 3 パターン

三角方程式

　\(\sin\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\)

三角関数の相互関係

\(Ⅰ\)　\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

\(Ⅱ\)　\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

\(Ⅲ\)　\(\tan^2\theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\)

三角関数の倍角の公式

\(Ⅰ\)　\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)

\(Ⅱ\)　\(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\)

　　　\(=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1\)

\(Ⅲ\)　\(\tan2\theta=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)

三角関数の合成

\(a\sin\theta+b\sin\theta\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}\left(\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right)\)

ここで、\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\),　\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) とおくと、

\(=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin\theta+\sin\alpha\cos\theta)\)
\(=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\)

例題

　\(\cos^2\theta+2\cos\theta+1=0\) (\(0\leq\theta<2\pi\))

解説

\(\cos\theta=t\) とおくと、\(t^2+2t+1=0\)
\((t+1)^2=0\) より \(t=-1\)
よって、\(\cos\theta=-1\) となり、\(0\leq\theta<2\pi\) より \(\theta=\pi\)

例題

　\(\cos^2\theta-\sin\theta+1=0\) (\(0\leq\theta<2\pi\))

解説

三角比の相互関係より \(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\) となるので、

\(\cos^2\theta-\sin\theta+1=0\)
\(1-\sin^2\theta-\sin\theta+1=0\)
\(-\sin^2\theta-\sin\theta+2=0\)
\(\sin^2\theta+\sin\theta-2=0\)
\((\sin\theta+2)(\sin\theta-1)=0\)
\(\sin\theta=-2\),　\(\sin\theta=1\)

\(0\leq\theta<2\pi\) より \(-1\leq\sin\theta\leq 1\) なので、
\(\sin\theta=1\) のみとなり、\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

例題

　\(\cos2\theta-3\sin\theta-2=0\) (\(0\leq\theta<2\pi\))

解説

2 倍角の公式より \(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\) となるので、

\(\cos2\theta-3\sin\theta-2=0\)
\(1-2\sin^2\theta-3\sin\theta-2=0\)
\(-2\sin^2\theta-3\cos\theta-1=0\)
\(2\sin^2\theta+3\sin\theta+1=0\)
\((2\sin\theta+1)(\sin\theta+1)=0\)
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\),　\(\sin\theta=-1\)

\(0\leq\theta<2\pi\) より \(\theta=\displaystyle\frac{7}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{11}{6}\pi\),　\(\displaystyle\frac{3}{2}\pi\)

問題

　\(\sin2\theta-\cos2\theta=1\) (\(0\leq\theta<2\pi\))

解説

三角関数の合成より
\(\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin2\theta-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos2\theta\right)=1\)

ここで、\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\alpha\),　\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin\alpha\) とおくと、

\(\sqrt{2}(\cos\alpha\sin2\theta-\sin\alpha\cos2\theta)=1\)
\(\sqrt{2}\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\)
\(\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}=t\) とおくと,　\(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\leq t\leq -\displaystyle\frac{15}{4}\pi\) となる。

\(\sin t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(t=\displaystyle\frac{\pi}{4}\),　\(\displaystyle\frac{3}{4}\pi\)

\(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}=t\) より

\(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
\(2\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

\(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3}{4}\pi\)
\(2\theta=\pi\)
\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

よって、\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\),　\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)